Номер 291, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Решение неравенств методом интервалов. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 291, страница 97.

Условие.

291. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дано неравенство $2(x - 18)(x - 19) > 0$.

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$(x - 18)(x - 19) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 18)(x - 19) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 18 = 0 \implies x_1 = 18$

$x - 19 = 0 \implies x_2 = 19$

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак $> $), точки $x=18$ и $x=19$ будут выколотыми (не включаются в решение). Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 18)$, $(18, 19)$ и $(19, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 18)(x - 19)$ на каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• Интервал $(19, +\infty)$: возьмем $x=20$. $(20 - 18)(20 - 19) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(18, 19)$: возьмем $x=18.5$. $(18.5 - 18)(18.5 - 19) = 0.5 \cdot (-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-\infty, 18)$: возьмем $x=0$. $(0 - 18)(0 - 19) = (-18) \cdot (-19) = 342 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, 18)$ и $(19, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 18) \cup (19, +\infty)$

б)

Дано неравенство $-4(x + 0.9)(x - 3.2) < 0$.

Разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с «$<$» на «$>$»):

$(x + 0.9)(x - 3.2) > 0$

Найдем корни уравнения $(x + 0.9)(x - 3.2) = 0$:

$x + 0.9 = 0 \implies x_1 = -0.9$

$x - 3.2 = 0 \implies x_2 = 3.2$

Отметим точки $x=-0.9$ и $x=3.2$ на числовой оси. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -0.9)$, $(-0.9, 3.2)$ и $(3.2, +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 0.9)(x - 3.2)$ на интервалах:

• Интервал $(3.2, +\infty)$: возьмем $x=4$. $(4 + 0.9)(4 - 3.2) = 4.9 \cdot 0.8 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-0.9, 3.2)$: возьмем $x=0$. $(0 + 0.9)(0 - 3.2) = 0.9 \cdot (-3.2) < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-\infty, -0.9)$: возьмем $x=-1$. $(-1 + 0.9)(-1 - 3.2) = (-0.1) \cdot (-4.2) > 0$. Знак «+».

Мы ищем решения неравенства $(x + 0.9)(x - 3.2) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -0.9) \cup (3.2, +\infty)$

в)

Дано неравенство $(7x + 21)(x - 8.5) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(7x + 21)(x - 8.5) = 0$:

$7x + 21 = 0 \implies 7x = -21 \implies x_1 = -3$

$x - 8.5 = 0 \implies x_2 = 8.5$

Отметим корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), точки $x=-3$ и $x=8.5$ будут закрашенными (включаются в решение). Они разбивают ось на три промежутка: $(-\infty, -3]$, $[-3, 8.5]$ и $[8.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $(7x + 21)(x - 8.5)$ на каждом промежутке:

• Промежуток $[8.5, +\infty)$: возьмем $x=10$. $(7 \cdot 10 + 21)(10 - 8.5) = 91 \cdot 1.5 > 0$. Знак «+».

• Промежуток $[-3, 8.5]$: возьмем $x=0$. $(7 \cdot 0 + 21)(0 - 8.5) = 21 \cdot (-8.5) < 0$. Знак «-».

• Промежуток $(-\infty, -3]$: возьмем $x=-4$. $(7 \cdot (-4) + 21)(-4 - 8.5) = (-7) \cdot (-12.5) > 0$. Знак «+».

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак $\le$). Это промежуток со знаком «-», включая его концы.

Ответ: $x \in [-3, 8.5]$

г)

Дано неравенство $(8 - x)(x - 0.3) \ge 0$.

Чтобы привести первый множитель к стандартному виду $(x-a)$, вынесем за скобку -1: $-(x - 8)(x - 0.3) \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный (с «$\ge$» на «$\le$»):

$(x - 8)(x - 0.3) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - 8)(x - 0.3) = 0$:

$x - 8 = 0 \implies x_1 = 8$

$x - 0.3 = 0 \implies x_2 = 0.3$

Отметим точки $x=0.3$ и $x=8$ на числовой оси. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Они разбивают ось на промежутки: $(-\infty, 0.3]$, $[0.3, 8]$ и $[8, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 8)(x - 0.3)$ на каждом промежутке:

• Промежуток $[8, +\infty)$: возьмем $x=10$. $(10 - 8)(10 - 0.3) = 2 \cdot 9.7 > 0$. Знак «+».

• Промежуток $[0.3, 8]$: возьмем $x=1$. $(1 - 8)(1 - 0.3) = (-7) \cdot 0.7 < 0$. Знак «-».

• Промежуток $(-\infty, 0.3]$: возьмем $x=0$. $(0 - 8)(0 - 0.3) = (-8) \cdot (-0.3) > 0$. Знак «+».

Мы ищем решение неравенства $(x - 8)(x - 0.3) \le 0$, поэтому выбираем промежуток со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in [0.3, 8]$