Номер 295, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

295. Решите неравенство:

а)

Решим неравенство $\frac{x - 21}{x + 7} < 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя дроби.
Нуль числителя: $x - 21 = 0 \implies x = 21$.
Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($< 0$), обе точки будут выколотыми.

3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -7)$, $(-7; 21)$ и $(21; +\infty)$.
- Для интервала $(21; +\infty)$ возьмём $x=22$: $\frac{22 - 21}{22 + 7} = \frac{1}{29} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-7; 21)$ возьмём $x=0$: $\frac{0 - 21}{0 + 7} = \frac{-21}{7} = -3 < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -7)$ возьмём $x=-8$: $\frac{-8 - 21}{-8 + 7} = \frac{-29}{-1} = 29 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу со знаком «?».

Ответ: $x \in (-7; 21)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x + 4,7}{x - 7,2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 4,7 = 0 \implies x = -4,7$.
Нуль знаменателя: $x - 7,2 = 0 \implies x = 7,2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 7,2$.

2. Отметим выколотые точки $x = -4,7$ и $x = 7,2$ на числовой прямой (неравенство строгое).

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; -4,7)$, $(-4,7; 7,2)$ и $(7,2; +\infty)$.
- Для интервала $(7,2; +\infty)$ возьмём $x=8$: $\frac{8 + 4,7}{8 - 7,2} = \frac{12,7}{0,8} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-4,7; 7,2)$ возьмём $x=0$: $\frac{0 + 4,7}{0 - 7,2} = -\frac{4,7}{7,2} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -4,7)$ возьмём $x=-5$: $\frac{-5 + 4,7}{-5 - 7,2} = \frac{-0,3}{-12,2} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{6x + 1}{3 + x} > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x = -\frac{1}{6}$.
Нуль знаменателя: $3 + x = 0 \implies x = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -3$.

2. Отметим выколотые точки $x = -3$ и $x = -\frac{1}{6}$ на числовой прямой.

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -\frac{1}{6})$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$.
- Для интервала $(-\frac{1}{6}; +\infty)$ возьмём $x=0$: $\frac{6(0) + 1}{3 + 0} = \frac{1}{3} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-3; -\frac{1}{6})$ возьмём $x=-1$: $\frac{6(-1) + 1}{3 - 1} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмём $x=-4$: $\frac{6(-4) + 1}{3 - 4} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{5x}{4x - 12} < 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x = 0 \implies x = 0$.
Нуль знаменателя: $4x - 12 = 0 \implies 4x = 12 \implies x = 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 3$.

2. Отметим выколотые точки $x = 0$ и $x = 3$ на числовой прямой.

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$: $\frac{5(4)}{4(4) - 12} = \frac{20}{4} = 5 > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(0; 3)$ возьмём $x=1$: $\frac{5(1)}{4(1) - 12} = \frac{5}{-8} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмём $x=-1$: $\frac{5(-1)}{4(-1) - 12} = \frac{-5}{-16} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу со знаком «?».

Ответ: $x \in (0; 3)$.