Номер 1, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 1, страница 98.

Условие.

1. На примере неравенств 3x² + 5x – 2 ‹ 0 и x² + 2x + 6 › 0 расскажите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения неравенства второй степени (квадратного неравенства) вида $ax^2+bx+c > 0$ или $ax^2+bx+c < 0$ удобно использовать графический метод, основанный на свойствах квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$. Графиком этой функции является парабола.

Общий алгоритм решения таков:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$. Если $a>0$, ветви направлены вверх. Если $a<0$, ветви направлены вниз.

2. Найти точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox). Для этого нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

   • Если дискриминант $D=b^2-4ac > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках.
   • Если $D=0$, то уравнение имеет один действительный корень ($x_0$). Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).
   • Если $D<0$, то уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и полностью находится либо над осью (при $a>0$), либо под осью (при $a<0$).

3. Схематически нарисовать параболу, учитывая направление ее ветвей и точки пересечения с осью Ox (если они есть).

4. По графику определить промежутки, на которых парабола находится выше или ниже оси Ox. Если неравенство имеет вид $ax^2+bx+c > 0$, ищутся промежутки, где график выше оси Ox. Если $ax^2+bx+c < 0$ — где график ниже оси Ox.

5. Записать ответ в виде интервалов. Для строгих неравенств ($<, >$) концы интервалов (корни уравнения) не включаются в решение, и используются круглые скобки. Для нестрогих неравенств ($\le, \ge$) — включаются, и используются квадратные скобки.

Применим этот алгоритм для решения заданных неравенств.

Решение неравенства $3x^2+5x-2 < 0$

1. Рассмотрим функцию $y=3x^2+5x-2$. Ее график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $3x^2+5x-2=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках с абсциссами $-2$ и $\frac{1}{3}$.

4. Схематически парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $-2$ и $\frac{1}{3}$.

5. Нам нужно решить неравенство $3x^2+5x-2 < 0$. Это соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y=3x^2+5x-2$ расположен ниже оси Ox. Глядя на схематический чертеж, видим, что это происходит на интервале между корнями.

6. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{3})$.

Решение неравенства $x^2+2x+6 > 0$

1. Рассмотрим функцию $y=x^2+2x+6$. Ее график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $x^2+2x+6=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D<0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

4. Парабола с ветвями вверх, не пересекающая ось Ox, целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть над осью Ox.

5. Нам нужно решить неравенство $x^2+2x+6 > 0$. Это соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y=x^2+2x+6$ расположен выше оси Ox. Поскольку наша парабола полностью находится над осью Ox, это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.