Номер 304, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 304, страница 103.

Условие.

304. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ + 4x² + x – 6 с осями координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции $y = x^3 + 4x^2 + x - 6$ с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Пересечение с осью ординат (Oy)

Точка пересечения графика с осью ординат имеет абсциссу $x=0$. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 = -6$

Следовательно, график функции пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox)

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату $y=0$. Чтобы найти соответствующие абсциссы $x$, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. Свободный член нашего уравнения равен $-6$. Его делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения, подставив это значение:

$1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$

Равенство верное, значит $x=1$ — это один из корней уравнения. Теперь мы можем разделить многочлен $x^3 + 4x^2 + x - 6$ на двучлен $(x-1)$ без остатка, чтобы найти другие корни.

$(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x - 1) = x^2 + 5x + 6$

Теперь исходное уравнение можно представить в виде:

$(x - 1)(x^2 + 5x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Один корень мы уже нашли: $x-1=0 \implies x_1=1$. Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение:

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $-3$.

$x_2 = -2$, $x_3 = -3$.

Таким образом, мы нашли три точки пересечения графика с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 0)$.