Номер 310, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 310, страница 104.

Условие.

310. Решите возвратное уравнение

10x⁴ – 77x³ + 150x² – 77x + 10 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $10x^4 - 77x^3 + 150x^2 - 77x + 10 = 0$ является возвратным (или симметричным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ в левую часть получаем $10$, а не $0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $x^2$, не теряя корней.

$\frac{10x^4}{x^2} - \frac{77x^3}{x^2} + \frac{150x^2}{x^2} - \frac{77x}{x^2} + \frac{10}{x^2} = 0$

$10x^2 - 77x + 150 - \frac{77}{x} + \frac{10}{x^2} = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(10x^2 + \frac{10}{x^2}) - (77x + \frac{77}{x}) + 150 = 0$

$10(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 77(x + \frac{1}{x}) + 150 = 0$

Для решения таких уравнений используется метод введения новой переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем это равенство в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения для $x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2}$ в преобразованное уравнение:

$10(y^2 - 2) - 77y + 150 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$10y^2 - 20 - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 77y + 130 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-77)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 130 = 5929 - 5200 = 729$.

Поскольку $D = 729 = 27^2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{104}{20} = \frac{26}{5}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения, соответствующих найденным значениям $y$.

1. $y = \frac{26}{5}$

Подставляем в замену: $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$.

Умножим обе части на $5x$ (помним, что $x \neq 0$):

$5x^2 + 5 = 26x$

$5x^2 - 26x + 5 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1$:

$D_1 = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Находим корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

$x_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

2. $y = \frac{5}{2}$

Подставляем в замену: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2$:

$D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни $x_3$ и $x_4$:

$x_3 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_4 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы нашли четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 2; 5$.