Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

308. Решите уравнение:

а) x³ + 11x – 108 = 0;

б) x⁵ + 6x + 44 = 0.

а) $x^3 + 11x - 108 = 0$

Решим данное кубическое уравнение. Сначала попробуем найти целочисленные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -108.

Делители числа 108: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ...$

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

При $x=1: 1^3 + 11(1) - 108 = 1 + 11 - 108 = -96 \neq 0$.

При $x=2: 2^3 + 11(2) - 108 = 8 + 22 - 108 = -78 \neq 0$.

При $x=3: 3^3 + 11(3) - 108 = 27 + 33 - 108 = -48 \neq 0$.

При $x=4: 4^3 + 11(4) - 108 = 64 + 44 - 108 = 108 - 108 = 0$.

Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 11x - 108$ делится на $(x-4)$ без остатка.

Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 11x - 108 = x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 27x - 108$

$= x^2(x - 4) + 4x(x - 4) + 27(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 4x + 27)$.

Теперь уравнение принимает вид:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

2) $x^2 + 4x + 27 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Доказать единственность корня можно также с помощью производной. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 11x - 108$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 11$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает, а значит, может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

Ответ: $4$.

б) $x^5 + 6x + 44 = 0$

Для решения этого уравнения рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 6x + 44$ и исследуем ее на монотонность.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 6x + 44)' = 5x^4 + 6$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ (то есть $x^4 \ge 0$).

Следовательно, $5x^4 \ge 0$, а значит $f'(x) = 5x^4 + 6 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может принимать значение ноль не более одного раза. Это значит, что уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного действительного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора среди целых делителей свободного члена (числа 44).

Делители числа 44: $±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44$.

Проверим $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^5 + 6(-2) + 44 = -32 - 12 + 44 = -44 + 44 = 0$.

Мы нашли корень $x=-2$. Так как мы доказали, что действительный корень может быть только один, то это и есть единственное решение уравнения.

Ответ: $-2$.

309. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

Для того чтобы определить, какое из уравнений имеет один и только один целый корень, проанализируем каждое из них.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, если данное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 3. Делителями числа 3 являются $\pm1, \pm3$.
Проверим каждый из них подстановкой в уравнение:
При $x = 1$: $1^3 - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = -1$: $(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = 3$: $3^3 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27 \ne 0$.
При $x = -3$: $(-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21 \ne 0$.
Ни один из делителей не является корнем, следовательно, уравнение не имеет целых корней.
Ответ: Уравнение не имеет целых корней.

2. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y$ должен быть неотрицательным.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 5y + 4 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$.
$y_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
$y_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$.
Оба корня для $y$ отрицательные, что не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -4$ не имеют действительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет действительных (а значит, и целых) корней.

3. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + y - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$. (Проверка: $4 + (-5) = -1$, $4 \cdot (-5) = -20$).
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и отбрасывается.
Рассмотрим корень $y_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной: $x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня являются целыми числами.
Ответ: Уравнение имеет два целых корня.

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Снова воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни – это делители свободного члена 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим их:
При $x = 1$: $1^3 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$. Корень найден: $x = 1$.
Чтобы проверить, есть ли другие целые корни, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на $(x-1)$.
$(x^3 - 5x + 4) \div (x - 1) = x^2 + x - 4$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x - 1)(x^2 + x - 4) = 0$.
Один корень $x_1 = 1$ является целым.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Так как $D=17$ не является полным квадратом, корни $x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ являются иррациональными.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один целый корень.
Ответ: Уравнение имеет один и только один целый корень.

310. Решите возвратное уравнение

10x⁴ – 77x³ + 150x² – 77x + 10 = 0.

Данное уравнение $10x^4 - 77x^3 + 150x^2 - 77x + 10 = 0$ является возвратным (или симметричным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ в левую часть получаем $10$, а не $0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $x^2$, не теряя корней.

$\frac{10x^4}{x^2} - \frac{77x^3}{x^2} + \frac{150x^2}{x^2} - \frac{77x}{x^2} + \frac{10}{x^2} = 0$

$10x^2 - 77x + 150 - \frac{77}{x} + \frac{10}{x^2} = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(10x^2 + \frac{10}{x^2}) - (77x + \frac{77}{x}) + 150 = 0$

$10(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 77(x + \frac{1}{x}) + 150 = 0$

Для решения таких уравнений используется метод введения новой переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем это равенство в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения для $x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2}$ в преобразованное уравнение:

$10(y^2 - 2) - 77y + 150 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$10y^2 - 20 - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 77y + 130 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-77)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 130 = 5929 - 5200 = 729$.

Поскольку $D = 729 = 27^2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{104}{20} = \frac{26}{5}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения, соответствующих найденным значениям $y$.

1. $y = \frac{26}{5}$

Подставляем в замену: $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$.

Умножим обе части на $5x$ (помним, что $x \neq 0$):

$5x^2 + 5 = 26x$

$5x^2 - 26x + 5 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1$:

$D_1 = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Находим корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

$x_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

2. $y = \frac{5}{2}$

Подставляем в замену: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2$:

$D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни $x_3$ и $x_4$:

$x_3 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_4 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы нашли четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 2; 5$.

311. Докажите, что если число m является корнем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Дано уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Пусть число $m$ является корнем этого уравнения. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$ (1)

Нам необходимо доказать, что число, обратное $m$, то есть $1/m$, также является корнем этого уравнения.

Для начала, убедимся, что корень $m$ не может быть равен нулю. Если предположить, что $m = 0$, то подставив это значение в исходное уравнение, получим:

$a \cdot 0^4 + b \cdot 0^3 + c \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = 0$

$0 + 0 + 0 + 0 + a = 0$

$a = 0$

Это противоречит условию задачи, в котором указано, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $m \neq 0$. Раз $m$ не равно нулю, то для него существует обратное число $1/m$.

Теперь подставим $x = 1/m$ в левую часть исходного уравнения, чтобы проверить, будет ли она равна нулю:

$a\left(\frac{1}{m}\right)^4 + b\left(\frac{1}{m}\right)^3 + c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\frac{a}{m^4} + \frac{b}{m^3} + \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $m^4$ (мы уже доказали, что $m^4 \neq 0$):

$\frac{a + bm + cm^2 + bm^3 + am^4}{m^4}$

Рассмотрим числитель полученной дроби: $a + bm + cm^2 + bm^3 + am^4$. Переставив слагаемые, получим $am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a$.

Из равенства (1) мы знаем, что это выражение равно нулю. Таким образом, вся дробь принимает вид:

$\frac{0}{m^4} = 0$

Мы получили, что при подстановке $x = 1/m$ в уравнение левая часть обращается в ноль. Это означает, что $1/m$ также является корнем уравнения. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

312. Решите уравнение:

а) $(x^2 - 4x - 12)^2 + (x^2 - 10x + 24)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $(x^2 - 4x - 12)^2 \ge 0$ и $(x^2 - 10x + 24)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 = 0 \\ x^2 - 10x + 24 = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Корни первого уравнения: $6$ и $-2$.

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Корни второго уравнения: $6$ и $4$.

Решением системы является общий корень обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{-2, 6\}$ и $\{4, 6\}$, находим общий корень $x=6$.

Ответ: $6$.

б) $|x^2 + 15x + 50| + |x^2 + 7x + 10| = 0$

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $|x^2 + 15x + 50| \ge 0$ и $|x^2 + 7x + 10| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 15x + 50 = 0 \\ x^2 + 7x + 10 = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $x^2 + 15x + 50 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 5}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 5}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Корни первого уравнения: $-5$ и $-10$.

Решим второе уравнение системы: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Корни второго уравнения: $-2$ и $-5$.

Решением системы является общий корень обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{-10, -5\}$ и $\{-2, -5\}$, находим общий корень $x=-5$.

Ответ: $-5$.

313. Найдите корень уравнения x² - 13x -5 - x = - 5 - x - 30. Если оно имеет два корня, то в ответе укажите больший из них.

Дано уравнение:

$$x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - x} - 30$$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$$5 - x \ge 0$$

Решая это неравенство, получаем:

$$x \le 5$$

Следовательно, любой корень исходного уравнения должен быть меньше или равен 5.

Теперь упростим уравнение. Мы видим, что член $-\sqrt{5-x}$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем прибавить $\sqrt{5-x}$ к обеим частям, в результате чего эти члены взаимно уничтожатся:

$$x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} + \sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 - x} - 30$$

$$x^2 - 13x = -30$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$$x^2 - 13x + 30 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Согласно теореме, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$$x_1 + x_2 = 13$$

$$x_1 \cdot x_2 = 30$$

Подбором находим, что корнями являются числа 3 и 10.

$$x_1 = 3$$

$$x_2 = 10$$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le 5$).

1. Проверка корня $x_1 = 3$:

$3 \le 5$. Неравенство верное, значит, $x = 3$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка корня $x_2 = 10$:

$10 \le 5$. Неравенство неверное, значит, $x = 10$ является посторонним корнем и не является решением.

Таким образом, уравнение имеет только один корень: $x = 3$. Согласно условию задачи, если корней два, нужно указать больший. Так как корень всего один, то он и идет в ответ.

Ответ: 3

314. Найдите корень уравнения 40 +x + 2 = x² + 6x +x + 2. Если оно имеет два корня, то в ответе укажите меньший из них.

Дано уравнение: $40 + \sqrt{x+2} = x^2 + 6x + \sqrt{x+2}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться условие:

$x + 2 \ge 0$

Отсюда следует, что $x \ge -2$.

Теперь приступим к решению самого уравнения. В левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\sqrt{x+2}$. Мы можем вычесть его из обеих частей, при этом равносильность уравнения сохранится в пределах ОДЗ.

$40 + \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = x^2 + 6x + \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}$

После упрощения получаем квадратное уравнение:

$40 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Мы получили два потенциальных корня: $4$ и $-10$. Теперь необходимо проверить, принадлежат ли они области допустимых значений ($x \ge -2$).

1. Проверка корня $x_1 = 4$: $4 \ge -2$. Условие выполняется, следовательно, $x=4$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка корня $x_2 = -10$: $-10 \ge -2$. Условие не выполняется. Следовательно, $x=-10$ является посторонним корнем.

Таким образом, данное уравнение имеет только один корень: $x = 4$. Условие "Если оно имеет два корня, то в ответе укажите меньший из них" в данном случае не применяется, так как корень всего один.

Ответ: 4

315. Решите уравнение:

а) $x^5 - x^3 = 0$

Для решения этого уравнения вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$. Отсюда получаем еще два корня: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $x^6 = 4x^4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 4 = 0$. Это разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ и $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

в) $0,5x^3 = 32x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$0,5x^3 - 32x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,5x^2 - 32) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$.

2) $0,5x^2 - 32 = 0$.

$0,5x^2 = 32$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 64$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{64}$, откуда $x = 8$ и $x = -8$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 8$.

г) $0,2x^4 = 4x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$0,2x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0,2x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0,2x^2 - 4 = 0$.

$0,2x^2 = 4$

Разделим обе части на 0,2:

$x^2 = \frac{4}{0,2} = \frac{4}{2/10} = \frac{40}{2} = 20$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{20}$. Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Отсюда $x = 2\sqrt{5}$ и $x = -2\sqrt{5}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2\sqrt{5}; 0; 2\sqrt{5}$.

316. Найдите корни уравнения:

а) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$
В левой части уравнения дважды применим формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала преобразуем произведение первых двух скобок:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь уравнение выглядит так:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$.
Снова применяем формулу разности квадратов для левой части:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Получаем уравнение:
$a^4 - 16 = 25a^2 - 16$.
Прибавим 16 к обеим частям уравнения:
$a^4 = 25a^2$.
Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю:
$a^4 - 25a^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^2(a^2 - 25) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
1) $a^2 = 0 \implies a_1 = 0$.
2) $a^2 - 25 = 0 \implies a^2 = 25 \implies a_2 = 5, a_3 = -5$.
Ответ: 0; -5; 5.

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$
Аналогично предыдущему пункту, применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к левой части уравнения.
Преобразуем произведение первых двух множителей:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$.
Ещё раз применим формулу разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Уравнение принимает вид:
$x^4 - 1 = 6x^2 - 1$.
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$x^4 = 6x^2$.
Перенесём все в левую часть:
$x^4 - 6x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 6) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x_2 = \sqrt{6}, x_3 = -\sqrt{6}$.
Ответ: 0; $-\sqrt{6}$; $\sqrt{6}$.

317. Решите уравнение:

а) $x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем первые два члена и вынесем общий множитель $x^2$:
$x^2(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)[x^2 - 4(x - 1)] = 0$
Раскроем скобки во втором множителе:
$(x - 1)(x^2 - 4x + 4) = 0$
Выражение во второй скобке является полным квадратом разности $(x - 2)^2$:
$(x - 1)(x - 2)^2 = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Ответ: 1; 2.

б) $2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0$

Сгруппируем первые два члена и вынесем общий множитель $2y^2$:
$2y^2(y + 1) - (y + 1)^2 = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $(y + 1)$:
$(y + 1)[2y^2 - (y + 1)] = 0$
Раскроем скобки во втором множителе:
$(y + 1)(2y^2 - y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $y + 1 = 0 \implies y_1 = -1$
2) $2y^2 - y - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
Найдем корни:
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: -1; -0.5; 1.

в) $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (40): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \dots$.
Проверим $x = -2$:
$5(-2)^3 - 19(-2)^2 - 38(-2) + 40 = 5(-8) - 19(4) + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0$
Значит, $x = -2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40$ на двучлен $(x + 2)$ столбиком или по схеме Горнера.
В результате деления получаем квадратный трехчлен $5x^2 - 29x + 20$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x + 2)(5x^2 - 29x + 20) = 0$
Теперь решим квадратное уравнение $5x^2 - 29x + 20 = 0$:
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 841 - 400 = 441 = 21^2$
$x_2 = \frac{29 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$x_3 = \frac{29 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Корни уравнения: -2, 4/5, 5.
Ответ: -2; $\frac{4}{5}$; 5.

г) $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0$

Данное уравнение является симметрическим (возвратным) уравнением третьей степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны ($a_3=a_0$, $a_2=a_1$). Одним из корней такого уравнения всегда является $x = -1$.
Проверим: $6(-1)^3 - 31(-1)^2 - 31(-1) + 6 = -6 - 31 + 31 + 6 = 0$.
Так как $x = -1$ - корень, разделим многочлен $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6$ на $(x + 1)$.
После деления получим многочлен $6x^2 - 37x + 6$.
Уравнение примет вид:
$(x + 1)(6x^2 - 37x + 6) = 0$
Решим квадратное уравнение $6x^2 - 37x + 6 = 0$:
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$
$x_2 = \frac{37 + 35}{2 \cdot 6} = \frac{72}{12} = 6$
$x_3 = \frac{37 - 35}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Корни уравнения: -1, 1/6, 6.
Ответ: -1; $\frac{1}{6}$; 6.

318. Решите уравнение:

а) x³ + 2x² + 3x + 2 = 0;

б) x³ + 4x² – 3x – 6 = 0.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$

Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (числа 2). Найдем все делители числа 2: $±1, ±2$.

Проверим подстановкой, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения:

• При $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \neq 0$. Значит, $x = 1$ не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 \cdot 1 - 3 + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Поскольку мы нашли один корень $x_1 = -1$, мы можем разделить многочлен $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x + 1)$, чтобы понизить степень уравнения. Деление можно выполнить столбиком или по схеме Горнера.

Выполним деление по схеме Горнера:

 | 1 2 3 2 -1 | -1 -1 -2 -------------------- | 1 1 2 0 

В результате деления получили квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде произведения:

$(x + 1)(x^2 + x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + x + 2 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -6). Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

• При $x = 1$: $1^3 + 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 4 - 3 - 6 = -4 \neq 0$.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.

Мы нашли один корень уравнения: $x_1 = -1$.

Теперь разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x + 1)$ с помощью схемы Горнера, чтобы найти остальные корни.

 | 1 4 -3 -6 -1 | -1 -3 6 --------------------- | 1 3 -6 0 

Результатом деления является многочлен $x^2 + 3x - 6$. Исходное уравнение эквивалентно следующему:

$(x + 1)(x^2 + 3x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + 3x - 6 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$

Дискриминант $D > 0$, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Таким образом, у исходного уравнения три действительных корня.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.