Страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

329. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби:

а) $\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Теперь выделим целую часть из каждой дроби. Для первой дроби преобразуем числитель:

$x^2 - 5x + 3 = x(x - 5) + 3$

Тогда первая дробь равна:

$\frac{x(x - 5) + 3}{x - 5} = \frac{x(x-5)}{x-5} + \frac{3}{x-5} = x + \frac{3}{x-5}$

Для второй дроби преобразуем числитель:

$x^2 + 5x + 1 = x(x + 5) + 1$

Тогда вторая дробь равна:

$\frac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \frac{x(x+5)}{x+5} + \frac{1}{x+5} = x + \frac{1}{x+5}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + \frac{3}{x-5}) - (x + \frac{1}{x+5}) = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки и упростим:

$x + \frac{3}{x-5} - x - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4}$

$\frac{3}{x-5} - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-5)(x+5) = x^2 - 25$:

$\frac{3(x+5) - 1(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{4}$

$\frac{3x + 15 - x + 5}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x + 20}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(2x + 20) = 1(x^2 - 25)$

$8x + 80 = x^2 - 25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x - 105 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 22}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 22}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$ и $x \neq -5$).

Ответ: -7; 15.

б) $\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}$

Определим ОДЗ:

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Представим правую часть в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{8} = \frac{57}{8}$.

Выделим целую часть из каждой дроби в левой части. Для первой дроби:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

$\frac{(x+3)^2 + 1}{x + 3} = \frac{(x+3)^2}{x+3} + \frac{1}{x+3} = x + 3 + \frac{1}{x+3}$

Для второй дроби:

$x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 2 = (x-3)^2 - 2$

$\frac{(x-3)^2 - 2}{x-3} = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{2}{x-3} = x - 3 - \frac{2}{x-3}$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x + 3 + \frac{1}{x+3}) - (x - 3 - \frac{2}{x-3}) = \frac{57}{8}$

Раскроем скобки и упростим:

$x + 3 + \frac{1}{x+3} - x + 3 + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8}$

$6 + \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8}$

Перенесем 6 в правую часть:

$\frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8} - 6 = \frac{57}{8} - \frac{48}{8} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{1(x-3) + 2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{9}{8}$

$\frac{x - 3 + 2x + 6}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x + 3}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

Используем свойство пропорции:

$8(3x + 3) = 9(x^2 - 9)$

$24x + 24 = 9x^2 - 81$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9x^2 - 24x - 105 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$3x^2 - 8x - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{8 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Оба корня ($5$ и $-\frac{7}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -3$).

Ответ: $-\frac{7}{3}$; 5.

330. Найдите корни уравнения:

Исходное уравнение:
$$ \frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0 $$

1. Первым шагом разложим знаменатели на множители. Для квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8$ найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.
Знаменатель $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями: $$ \frac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0 $$

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
Следовательно, ОДЗ: $x$ не может быть равен -2, 2, 4.

3. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(x - 2)(x - 4)(x + 2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители: $$ \frac{1 \cdot (x+2)}{(x - 2)(x - 4)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-4)(x+2)}{(x-2)(x-4)(x+2)} + \frac{10 \cdot (x-4)}{(x - 2)(x+2)(x-4)} = 0 $$

4. Так как дроби с одинаковыми знаменателями равны нулю, если их числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю: $$ 1(x + 2) - 1(x - 4)(x + 2) + 10(x - 4) = 0 $$ Раскроем скобки: $$ x + 2 - (x^2 + 2x - 4x - 8) + 10x - 40 = 0 $$ $$ x + 2 - (x^2 - 2x - 8) + 10x - 40 = 0 $$ $$ x + 2 - x^2 + 2x + 8 + 10x - 40 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -x^2 + (1 + 2 + 10)x + (2 + 8 - 40) = 0 $$ $$ -x^2 + 13x - 30 = 0 $$ Умножим уравнение на -1 для удобства: $$ x^2 - 13x + 30 = 0 $$

5. Решим полученное квадратное уравнение. Используем теорему Виета: ищем два числа, сумма которых равна 13, а произведение 30. Это числа 3 и 10. $x_1 = 3$, $x_2 = 10$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$

6. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -2; 2; 4$). Корень $x = 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ. Корень $x = 10$ удовлетворяет условиям ОДЗ. Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 3; 10.

Исходное уравнение:
$$ \frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9} $$

1. Разложим знаменатели на множители. Для $x^2 - x - 6$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 1, произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.
Знаменатель $x^2 - 9$ раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложенные знаменатели в уравнение: $$ \frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x - 3)(x + 3)} $$

2. Определим ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
ОДЗ: $x$ не может быть равен -3, -2, 3.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 3)(x + 2)(x + 3)$, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{3(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = \frac{7(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} $$ После сокращения получим: $$ 3(x + 3) + 3(x - 3)(x + 3) = 7(x + 2) $$

4. Решим полученное целое уравнение. Раскроем скобки: $$ 3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14 $$ $$ 3x + 9 + 3x^2 - 27 = 7x + 14 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 3x^2 + 3x - 18 = 7x + 14 $$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$ 3x^2 + 3x - 7x - 18 - 14 = 0 $$ $$ 3x^2 - 4x - 32 = 0 $$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $a = 3, b = -4, c = -32$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400 = 20^2$
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -3; -2; 3$). Корень $x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Оба корня являются решениями.

Ответ: $-\frac{8}{3}$; 4.

331. Решите уравнение

Исходное уравнение:$$ \frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1} $$

Для решения уравнения сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби:$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$.

Знаменатель второй дроби:$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$.

Знаменатель правой части уравнения:$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Общий знаменатель всех дробей — это $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием неравенства знаменателя нулю:$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0$.Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, то условия сводятся к $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$.Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь перепишем уравнение, используя разложенные на множители знаменатели:$$ \frac{1}{(x - 1)(x^2 + 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} $$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ:$$ 1 \cdot (x + 1) + (4x^2 + 21) \cdot (x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Раскроем скобки в левой части:$$ x + 1 + 4x^3 - 4x^2 + 21x - 21 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:$$ 4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:$$ (4x^3 - 4x^3) + (-4x^2 + 3x^2) + (22x - 14x) + (-20 + 4) = 0 $$$$ -x^2 + 8x - 16 = 0 $$

Умножим уравнение на -1:$$ x^2 - 8x + 16 = 0 $$

Левая часть является полным квадратом разности:$$ (x - 4)^2 = 0 $$

Отсюда получаем единственный корень:$$ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 $$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).Корень $x = 4$ не совпадает с запрещенными значениями, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Ответ: $4$.

332. Найдите корни уравнения:

а) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$4x - 7 \neq 0$

$4x \neq 7$

$x \neq \frac{7}{4}$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель $(4x - 7)$, так как мы уже учли, что он не равен нулю:

$x^2(4x - 7) = 7x - 4$

Раскроем скобки:

$4x^3 - 7x^2 = 7x - 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$4x^3 - 7x^2 - 7x + 4 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Проверим один из возможных корней, например, $x = -1$:

$4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 4 = 4(-1) - 7(1) + 7 + 4 = -4 - 7 + 7 + 4 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $4x^3 - 7x^2 - 7x + 4$ делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление многочленов, чтобы найти второй множитель:

$(4x^3 - 7x^2 - 7x + 4) : (x + 1) = 4x^2 - 11x + 4$

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(x + 1)(4x^2 - 11x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $4x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение, с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{8}$

Таким образом, мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$, $x_3 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{7}{4}$).

Ответ: $-1, \frac{11 - \sqrt{57}}{8}, \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$.

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$3x - 5 \neq 0$

$3x \neq 5$

$x \neq \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x - 5)$:

$x^2(3x - 5) = 5x - 3$

$3x^3 - 5x^2 = 5x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^3 - 5x^2 - 5x + 3 = 0$

Найдем рациональные корни этого кубического уравнения. Проверим $x = -1$:

$3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 3(-1) - 5(1) + 5 + 3 = -3 - 5 + 5 + 3 = 0$

Корень $x = -1$ подходит. Разделим многочлен $3x^3 - 5x^2 - 5x + 3$ на $(x+1)$:

$(3x^3 - 5x^2 - 5x + 3) : (x + 1) = 3x^2 - 8x + 3$

Уравнение принимает вид:

$(x + 1)(3x^2 - 8x + 3) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $3x^2 - 8x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28$

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{7})}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$, $x_3 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{5}{3}$).

Ответ: $-1, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$.

333. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через $\frac{1}{t}$:

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2\frac{1}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \neq 0 $ и $ x^2 + 1 \neq 0 $. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными выражениями. Воспользуемся предложенной в условии заменой. Пусть $ t = \frac{x^2 + 1}{x} $, тогда второе слагаемое будет равно $ \frac{1}{t} $.

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. После подстановки уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Чтобы решить это уравнение относительно $t$, умножим обе его части на $2t$ (мы знаем, что $t \neq 0$, так как $x^2+1 \neq 0$):

$ 2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2} $

$ 2t^2 + 2 = 5t $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $

Корни для $t$ равны:

$ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

$ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $ t = 2 $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2 $

$ x^2 + 1 = 2x $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

Это уравнение является полным квадратом:

$ (x - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ x = 1 $. Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $ t = \frac{1}{2} $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} $

$ 2(x^2 + 1) = x $

$ 2x^2 - x + 2 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 $

Поскольку дискриминант отрицателен ($ \Delta < 0 $), у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} + \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\frac{1}{6} $.

ОДЗ: $ 3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} $ и $ x^2 + 2 \neq 0 $. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$. Значит, ОДЗ: $ x \neq \frac{2}{3} $.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену. Пусть $ t = \frac{x^2 + 2}{3x - 2} $, тогда $ \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = \frac{1}{t} $.

Преобразуем $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$. Уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $

Умножим обе части на $6t$ (где $t \neq 0$, так как $x^2+2 \neq 0$):

$ 6t^2 + 6 = 13t $

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $

Найдем дискриминант $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 $

Корни для $t$:

$ t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $ t = \frac{3}{2} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{3}{2} $

$ 2(x^2 + 2) = 3(3x - 2) $

$ 2x^2 + 4 = 9x - 6 $

$ 2x^2 - 9x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $.

Корни для $x$:

$ x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{2}{3} $).

Случай 2: $ t = \frac{2}{3} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{2}{3} $

$ 3(x^2 + 2) = 2(3x - 2) $

$ 3x^2 + 6 = 6x - 4 $

$ 3x^2 - 6x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ \Delta < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $2; 2.5$.

334. Решите уравнение, используя подстановку y = x²:

a)

Дано уравнение: $\frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x^2 - 2 \neq 0 \implies x^2 \neq 2 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $2 - x^2 = -(x^2 - 2)$. Преобразуем уравнение:

$\frac{x^4}{x^2 - 2} - \frac{1 - 4x^2}{x^2 - 2} + 4 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^4 - (1 - 4x^2)}{x^2 - 2} + 4 = 0$

$\frac{x^4 + 4x^2 - 1}{x^2 - 2} + 4 = 0$

Введем замену, как указано в условии: $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 2$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y^2 + 4y - 1}{y - 2} + 4 = 0$

Приведем все к общему знаменателю $y - 2$:

$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4(y - 2)}{y - 2} = 0$

$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4y - 8}{y - 2} = 0$

$\frac{y^2 + 8y - 9}{y - 2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 2$.

$y_1 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполнено, условие $1 \neq 2$ выполнено. Этот корень подходит.

$y_2 = -9$: условие $-9 \ge 0$ не выполнено. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 1$:

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm\sqrt{2}$).

Ответ: $x = \pm 1$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2 + 1 \neq 0$ (выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$)

$x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $x^4 - 3x^2 - 4$. Сделаем замену $t=x^2$ для разложения на множители: $t^2 - 3t - 4$. Корни этого квадратного трехчлена $t_1=4, t_2=-1$. Таким образом, $t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)$. Возвращаясь к $x$, получаем $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

Следовательно, условие $x^4 - 3x^2 - 4 \neq 0$ сводится к уже рассмотренным $x^2 - 4 \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Введем замену $y = x^2$. Условия для $y$: $y \ge 0$ и из ОДЗ $y \neq 4$.

Подставим $y$ в уравнение и разложим третий знаменатель на множители:

$\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y + 1)(y - 4)} = 0$

Общий знаменатель: $(y + 1)(y - 4)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $y \neq -1$ и $y \neq 4$.

$(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0$

$y^2 + y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y + 1) = 0$

Получаем два корня для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 4$.

$y_1 = 0$: условие $0 \ge 0$ выполнено, $0 \neq 4$ выполнено. Корень подходит.

$y_2 = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполнено. Это посторонний корень. (Также он не удовлетворяет условию $y \neq -1$, при котором мы умножали на знаменатель).

Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 0$:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ: $0 \neq \pm 2$. Корень подходит.

Ответ: $x = 0$.

335. Решите уравнение:

а)

Исходное уравнение: $ (\frac{x+1}{x-2})^2 - 16(\frac{x-2}{x+1})^2 = 15 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $

$ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $

2. Заметим, что дроби в уравнении являются взаимно обратными. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $ y = (\frac{x+1}{x-2})^2 $.

Тогда $ (\frac{x-2}{x+1})^2 = \frac{1}{(\frac{x+1}{x-2})^2} = \frac{1}{y} $.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$ y - \frac{16}{y} = 15 $

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Так как $y$ представляет собой квадрат выражения, то $y \ge 0$. Также $y \neq 0$, поскольку для этого потребовалось бы $x+1=0$, что исключено из ОДЗ.

Умножим обе части уравнения на $y$:

$ y^2 - 16 = 15y $

$ y^2 - 15y - 16 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

4. Проверим найденные значения $y$. Так как $y$ - это квадрат, то $y$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $ y_2 = -1 $ не является решением. Остается только $ y_1 = 16 $.

5. Вернемся к исходной переменной $x$:

$ (\frac{x+1}{x-2})^2 = 16 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $ или $ \frac{x+1}{x-2} = -4 $

6. Решим каждое из двух полученных уравнений:

Случай 1:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $

$ x+1 = 4(x-2) $

$ x+1 = 4x - 8 $

$ 3x = 9 $

$ x = 3 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).

Случай 2:

$ \frac{x+1}{x-2} = -4 $

$ x+1 = -4(x-2) $

$ x+1 = -4x + 8 $

$ 5x = 7 $

$ x = \frac{7}{5} $ или $ x = 1.4 $

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).

Ответ: $3; \frac{7}{5}$.

б)

Исходное уравнение: $ (\frac{x+3}{x-5})^2 - 9(\frac{x-5}{x+3})^2 = 8 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $

$ x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $

2. Аналогично предыдущему пункту, введем замену переменной. Пусть $ y = (\frac{x+3}{x-5})^2 $.

Тогда $ (\frac{x-5}{x+3})^2 = \frac{1}{y} $.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ y - \frac{9}{y} = 8 $

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Условие $y \ge 0$ и $y \neq 0$ сохраняется.

Умножим обе части уравнения на $y$:

$ y^2 - 9 = 8y $

$ y^2 - 8y - 9 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения:

$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

4. Корень $ y_2 = -1 $ не подходит, так как квадрат не может быть отрицательным. Остается $ y_1 = 9 $.

5. Вернемся к переменной $x$:

$ (\frac{x+3}{x-5})^2 = 9 $

Извлечем квадратный корень:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $ или $ \frac{x+3}{x-5} = -3 $

6. Решим каждое из двух уравнений:

Случай 1:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $

$ x+3 = 3(x-5) $

$ x+3 = 3x - 15 $

$ 2x = 18 $

$ x = 9 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).

Случай 2:

$ \frac{x+3}{x-5} = -3 $

$ x+3 = -3(x-5) $

$ x+3 = -3x + 15 $

$ 4x = 12 $

$ x = 3 $

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).

Ответ: $3; 9$.

336. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем в квадрат выражение для $t$:

$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новые выражения в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - t = 2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t = 2$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x_1 = 1$

2) Если $t = -\frac{3}{2}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $9x^2 - 18x + \frac{9}{x^2} - \frac{18}{x} = 22$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$\left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x + \frac{18}{x}\right) = 22$

Вынесем общие множители за скобки:

$9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22$

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем задании, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новые выражения в преобразованное уравнение:

$9(t^2 - 2) - 18t = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$9t^2 - 18 - 18t = 22$

$9t^2 - 18t - 40 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 324 + 1440 = 1764 = 42^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-18) + 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 42}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

$t_2 = \frac{-(-18) - 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 42}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = \frac{10}{3}$, то:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$

Умножим обе части на $3x$ (так как $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2) Если $t = -\frac{4}{3}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}$

Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 3 = -4x$

$3x^2 + 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.