Страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

337. При каких значениях a сумма чисел a и $\frac{1}{a}$ в 3$\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов?

Пусть даны числа $a$ и $\frac{1}{a}$. По условию задачи, сумма этих чисел в $3\frac{1}{4}$ раза меньше, чем сумма их кубов. Запишем это условие в виде математического уравнения.

Сумма чисел: $S_1 = a + \frac{1}{a}$.
Сумма их кубов: $S_3 = a^3 + \left(\frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3}$.

Условие "сумма чисел в $k$ раз меньше суммы их кубов" означает, что $S_3 = k \cdot S_1$.
В нашем случае $k = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.
Получаем уравнение:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right)$
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условием $a \neq 0$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Применив ее к левой части уравнения, получим:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) = \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\left(a + \frac{1}{a}\right)$ за скобки:
$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right) = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left[ \left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \right] = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} - 1 - \frac{13}{4} \right) = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} \right) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
1) $a + \frac{1}{a} = 0$. Умножив на $a$ (где $a \neq 0$), получим $a^2 + 1 = 0$, или $a^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
2) $a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} = 0$. Умножим обе части на $4a^2$ (где $a \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$4a^4 + 4 - 17a^2 = 0$
$4a^4 - 17a^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = a^2$. Так как $a$ — действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:
$4y^2 - 17y + 4 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$.
$y_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
$y_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Оба корня положительные, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $a^2 = y$:
Если $y=4$, то $a^2 = 4$, откуда $a = \pm \sqrt{4}$, то есть $a = 2$ и $a = -2$.
Если $y=\frac{1}{4}$, то $a^2 = \frac{1}{4}$, откуда $a = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Все четыре найденных значения $a$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: $a \in \left\{-2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\right\}$.

338. Решите уравнение:

а) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22(x + \frac{1}{x})$

Данное уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Введем новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^3 + \frac{1}{x^3}$ через $t$, возведем замену в куб:

$t^3 = (x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$t^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x})$

Так как $x + \frac{1}{x} = t$, получаем $t^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3t$. Отсюда выражаем $x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$t^3 - 3t = 22t$

Решим уравнение относительно $t$:

$t^3 - 3t - 22t = 0$

$t^3 - 25t = 0$

$t(t^2 - 25) = 0$

$t(t-5)(t+5) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 5$, $t_3 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t=0$: $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

2. При $t=5$: $x + \frac{1}{x} = 5$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = 5x$, или $x^2 - 5x + 1 = 0$. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$. Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

3. При $t=-5$: $x + \frac{1}{x} = -5$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = -5x$, или $x^2 + 5x + 1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$. Корни: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, x_4 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$.

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19(x - \frac{1}{x})$

Это уравнение также решается с помощью замены. Заметим, что $x \neq 0$. Введем новую переменную $y = x - \frac{1}{x}$.

Возведем замену в куб, чтобы выразить $x^3 - \frac{1}{x^3}$ через $y$:

$y^3 = (x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot (\frac{1}{x})^2 - (\frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$

$y^3 = (x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x})$

Так как $x - \frac{1}{x} = y$, получаем $y^3 = (x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3y$. Отсюда $x^3 - \frac{1}{x^3} = y^3 + 3y$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$y^3 + 3y = 19y$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^3 + 3y - 19y = 0$

$y^3 - 16y = 0$

$y(y^2 - 16) = 0$

$y(y-4)(y+4) = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 0$, $y_2 = 4$, $y_3 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. При $y=0$: $x - \frac{1}{x} = 0$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2=1$, то есть $x = \pm 1$.

2. При $y=4$: $x - \frac{1}{x} = 4$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = 4x$, или $x^2 - 4x - 1 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

3. При $y=-4$: $x - \frac{1}{x} = -4$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = -4x$, или $x^2 + 4x - 1 = 0$. $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $1, -1, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$.

339. Решите неравенство:

а) $x^2 - 5x - 50 < 0$

Для решения квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Для этого вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = -5$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = 10$. Графиком функции $y = x^2 - 5x - 50$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = 10$. Значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 10)$.

б) $-m^2 - 8m + 9 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $m^2$ стал положительным: $m^2 + 8m - 9 \le 0$. Найдем корни уравнения $m^2 + 8m - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Корни: $m_1 = -9$ и $m_2 = 1$. Графиком функции $y = m^2 + 8m - 9$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Она пересекает ось Om в точках $m = -9$ и $m = 1$. Неравенство $m^2 + 8m - 9 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси Om, то есть на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $m \in [-9; 1]$.

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 4y - 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$. $y_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Парабола $y = 3y^2 + 4y - 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=3>0$), и пересекает ось Oy в точках $y = -2$ и $y = \frac{2}{3}$. Неравенство $3y^2 + 4y - 4 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Oy, то есть за пределами интервала между корнями.

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

г) $8p^2 + 2p \ge 21$

Перенесем все члены в левую часть неравенства: $8p^2 + 2p - 21 \ge 0$. Найдем корни уравнения $8p^2 + 2p - 21 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676$. $\sqrt{676} = 26$. Корни уравнения: $p_1 = \frac{-2 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}$. $p_2 = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$. Парабола $y = 8p^2 + 2p - 21$ имеет ветви, направленные вверх ($a=8>0$). Неравенство $8p^2 + 2p - 21 \ge 0$ выполняется на лучах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $p \in (-\infty; -\frac{7}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

д) $12x - 9 \le 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 - 12x + 9 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом: $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$. Получаем неравенство $(2x - 3)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $-9x^2 < 1 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид: $9x^2 - 6x + 1 > 0$. Выражение в левой части также является полным квадратом: $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$. Получаем неравенство $(3x - 1)^2 > 0$. Квадрат действительного числа всегда больше или равен нулю. Он равен нулю только в том случае, когда само число равно нулю. $(3x - 1)^2 = 0$ при $3x - 1 = 0$, то есть при $x = \frac{1}{3}$. Во всех остальных случаях $(3x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Таким образом, неравенство верно для всех $x$, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

340. Докажите, что при любом значении x верно неравенство:

а) Чтобы доказать неравенство $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7)$, преобразуем его.
Сначала раскроем скобки в левой и правой частях.
Левая часть: $2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$.
Правая часть: $(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$.
Теперь исходное неравенство можно записать в виде:
$2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 35$.
Перенесём все члены из правой части в левую с противоположным знаком:
$2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 2x + 35 > 0$.
Приведём подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2) + (-4x + 2x) + (-6 + 35) > 0$
$x^2 - 2x + 29 > 0$.
Чтобы доказать, что полученное неравенство верно для любого $x$, выделим в его левой части полный квадрат:
$x^2 - 2x + 29 = (x^2 - 2x + 1) + 28 = (x - 1)^2 + 28$.
Получаем неравенство: $(x - 1)^2 + 28 > 0$.
Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом числа и, следовательно, всегда больше или равно нулю при любом значении $x$: $(x - 1)^2 \ge 0$.
Тогда сумма $(x - 1)^2 + 28$ всегда будет больше или равна $0 + 28 = 28$.
Поскольку $28 > 0$, то неравенство $(x - 1)^2 + 28 > 0$ верно при любом значении $x$.
Следовательно, исходное неравенство также верно при любом $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4)$, преобразуем его.
Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$(x + 5)(x - 7) \le 4(x + 2)(x - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях.
Левая часть: $(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$.
Правая часть: $4(x + 2)(x - 4) = 4(x^2 - 4x + 2x - 8) = 4(x^2 - 2x - 8) = 4x^2 - 8x - 32$.
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32$.
Перенесём все члены из левой части в правую с противоположным знаком:
$0 \le 4x^2 - 8x - 32 - (x^2 - 2x - 35)$
$0 \le 4x^2 - 8x - 32 - x^2 + 2x + 35$.
Приведём подобные слагаемые:
$0 \le (4x^2 - x^2) + (-8x + 2x) + (-32 + 35)$
$0 \le 3x^2 - 6x + 3$.
Вынесем общий множитель 3 за скобку:
$0 \le 3(x^2 - 2x + 1)$.
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности:
$0 \le 3(x - 1)^2$.
Выражение $(x - 1)^2$ как квадрат числа всегда больше или равно нулю при любом значении $x$: $(x - 1)^2 \ge 0$.
При умножении на положительное число 3 результат также будет неотрицательным: $3(x - 1)^2 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $0 \le 3(x - 1)^2$ верно при любом значении $x$.
Следовательно, исходное неравенство также верно при любом $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

341. Найдите область определения функции:

а) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно.
Таким образом, мы должны решить неравенство:
$144 - 9x^2 > 0$
$144 > 9x^2$
Разделим обе части на 9:
$16 > x^2$
Или $x^2 < 16$.
Это неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x < 4 \\ x > -4 \end{cases}$
Следовательно, область определения функции представляет собой интервал $x \in (-4; 4)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 4)$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $16 - 24x + 9x^2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \ne 0$.
Рассмотрим первое условие. Выражение $16 - 24x + 9x^2$ можно переписать в виде $9x^2 - 24x + 16$. Заметим, что это полный квадрат разности:
$9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 = (3x - 4)^2$.
Таким образом, неравенство принимает вид:
$(3x - 4)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для любых значений $x$.
Рассмотрим второе условие:
$x + 2 \ne 0$
$x \ne -2$
Объединяя оба условия, получаем, что функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -2$.
Область определения функции: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

342. При каких значениях a уравнение (a + 2)x² + 8x + a – 4 = 0 имеет два корня?

Данное уравнение $(a + 2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ является уравнением с параметром a. Его вид и, следовательно, количество корней зависят от значения этого параметра.

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным. Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:

$a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ в данном случае:

$A = a + 2$, $B = 8$, $C = a - 4$

Дискриминант $D$ равен:

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4(a + 2)(a - 4)$

$D = 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) = 64 - 4(a^2 - 2a - 8)$

$D = 64 - 4a^2 + 8a + 32 = -4a^2 + 8a + 96$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-4a^2 + 8a + 96 > 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$a^2 - 2a - 24 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 2a - 24 = 0$. По теореме Виета (или через формулу корней) находим корни:

$a_1 = 6$ и $a_2 = -4$

Парабола $y = a^2 - 2a - 24$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-4 < a < 6$.

Объединяя это решение с ранее установленным условием $a \neq -2$, мы получаем, что для наличия двух различных корней параметр $a$ должен принадлежать следующему множеству:

$a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$

Далее рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при:

$a + 2 = 0 \implies a = -2$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение, чтобы определить, сколько корней оно будет иметь:

$(-2 + 2)x^2 + 8x + (-2) - 4 = 0$

$0 \cdot x^2 + 8x - 6 = 0$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

При $a = -2$ уравнение становится линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи о наличии двух корней.

Таким образом, итоговое множество значений параметра $a$, при которых уравнение имеет два корня, совпадает с решением, полученным в первом случае.

Ответ: $a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$.

343. При каких значениях b уравнение (b – 1)x² + 6x + b – 3 = 0 не имеет корней?

Для того чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение $(b - 1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b - 1 \neq 0$, или $b \neq 1$.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).
В данном уравнении коэффициенты: $a = b - 1$, коэффициент при $x$ равен $6$, свободный член $c = b - 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4(b - 1)(b - 3)$
$D = 36 - 4(b^2 - 3b - b + 3)$
$D = 36 - 4(b^2 - 4b + 3)$
$D = 36 - 4b^2 + 16b - 12$
$D = -4b^2 + 16b + 24$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$-4b^2 + 16b + 24 < 0$
Разделим обе части неравенства на $-4$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$b^2 - 4b - 6 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 4b - 6 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$b_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$.
Корни уравнения: $b_1 = 2 - \sqrt{10}$ и $b_2 = 2 + \sqrt{10}$.
График функции $y = b^2 - 4b - 6$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $b^2 - 4b - 6 > 0$ выполняется для значений $b$, находящихся вне интервала между корнями: $b < 2 - \sqrt{10}$ или $b > 2 + \sqrt{10}$.

Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b - 1 = 0$, откуда $b = 1$.
Подставим $b = 1$ в исходное уравнение:
$(1 - 1)x^2 + 6x + 1 - 3 = 0$
$0 \cdot x^2 + 6x - 2 = 0$
$6x - 2 = 0$
$6x = 2 \implies x = \frac{1}{3}$.
При $b = 1$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней только при значениях $b$, найденных в первом случае.
Ответ: $b \in (-\infty; 2 - \sqrt{10}) \cup (2 + \sqrt{10}; \infty)$.

344. При каких значениях c не имеет корней уравнение:

а) x⁴ – 12x² + c = 0;

б) x⁴ + cx² + 100 = 0?

а)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 - 12x^2 + c = 0$.

Чтобы решить его, сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 12t + c = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если соответствующее ему квадратное уравнение для $t$ либо не имеет действительных корней вовсе, либо все его действительные корни отрицательны (так как $t = x^2$ не может быть отрицательным).

Проанализируем эти два случая.

1. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ не имеет действительных корней.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.

Найдем значения $c$, при которых дискриминант отрицателен:

$144 - 4c < 0$

$144 < 4c$

$c > 36$

2. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен ($D \ge 0$), а по теореме Виета, сумма корней ($t_1 + t_2$) была отрицательной, а их произведение ($t_1 \cdot t_2$) — положительным.

• Условие существования действительных корней: $D \ge 0 \implies 144 - 4c \ge 0 \implies c \le 36$.

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -(-12)/1 = 12$.

Сумма корней равна $12$, что является положительным числом. Если у уравнения есть два действительных корня, то они не могут быть оба отрицательными (их сумма была бы отрицательной). Также они не могут быть равны нулю и отрицательному числу (сумма была бы отрицательной). Следовательно, если действительные корни существуют, хотя бы один из них положителен. Это означает, что второй случай невозможен.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней только при условии из первого случая.

Ответ: $c > 36$.

б)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 + cx^2 + 100 = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + ct + 100 = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если для уравнения $t^2 + ct + 100 = 0$ выполняется одно из двух условий:

1. Уравнение не имеет действительных корней.

2. Все действительные корни уравнения отрицательны.

Рассмотрим оба случая.

1. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ не имеет действительных корней.

Его дискриминант $D$ должен быть отрицателен.

$D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = c^2 - 400$.

Решим неравенство $D < 0$:

$c^2 - 400 < 0$

$c^2 < 400$

$-20 < c < 20$

2. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого должны выполняться следующие условия:

• Дискриминант неотрицателен: $D \ge 0 \implies c^2 - 400 \ge 0 \implies c^2 \ge 400$. Это верно при $c \le -20$ или $c \ge 20$.

• По теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 100/1 = 100$. Так как произведение положительно, корни имеют одинаковый знак.

• Сумма корней $t_1 + t_2 = -c/1 = -c$. Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма также должна быть отрицательной: $-c < 0$, что равносильно $c > 0$.

Объединим условия для второго случая: ($c \le -20$ или $c \ge 20$) и ($c > 0$).

Пересечением этих условий является промежуток $c \ge 20$.

Итак, исходное уравнение не имеет корней, если выполняется либо условие из первого случая ($-20 < c < 20$), либо условие из второго случая ($c \ge 20$).

Объединим найденные множества значений для $c$:

$(-20, 20) \cup [20, \infty)$.

Это объединение дает интервал $(-20, \infty)$.

Ответ: $c > -20$.

345. (Задача-исследование.) При каких значениях k биквадратное уравнение x⁴ – 13x² + k = 0:

а) имеет четыре корня;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

1) Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Для решения биквадратного уравнения $x^4 - 13x^2 + k = 0$ проведем исследование, следуя предложенному плану.

1) Обозначьте $x^2$ через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.

Введем замену переменной $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$). После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 - 13y + k = 0 $$ Количество корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. $$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 169 - 4k $$

• Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$, то есть $169 - 4k > 0$, что равносильно $k < \frac{169}{4}$.
• Уравнение имеет один корень (два совпадающих), если $D = 0$, то есть $169 - 4k = 0$, что равносильно $k = \frac{169}{4}$.
• Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$, то есть $169 - 4k < 0$, что равносильно $k > \frac{169}{4}$.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

Знаки корней $y_1$ и $y_2$ можно определить с помощью теоремы Виета. Для уравнения $y^2 - 13y + k = 0$ имеем:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = 13$
Произведение корней: $y_1 y_2 = k$
Так как сумма корней $y_1 + y_2 = 13$ положительна, то хотя бы один из корней должен быть положительным. Невозможно, чтобы оба корня были отрицательными.
Рассмотрим случаи, когда корни существуют ($D \ge 0 \implies k \le \frac{169}{4}$):

• Если $k > 0$, то произведение $y_1 y_2$ положительно. Так как сумма корней также положительна, оба корня $y_1$ и $y_2$ положительны. Это соответствует интервалу $0 < k < \frac{169}{4}$ (для двух различных корней) и точке $k = \frac{169}{4}$ (для одного корня $y = \frac{13}{2} > 0$).
• Если $k = 0$, то $y_1 y_2 = 0$. Это значит, что один из корней равен 0. Из суммы корней находим второй корень: $0 + y_2 = 13 \implies y_2 = 13$. Корни: $y_1=0, y_2=13$.
• Если $k < 0$, то $y_1 y_2 < 0$. Это значит, что корни имеют разные знаки: один положительный, а другой отрицательный.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Число корней исходного биквадратного уравнения $x^4 - 13x^2 + k = 0$ определяется числом неотрицательных корней квадратного уравнения для $y$, так как $x = \pm\sqrt{y}$.

• Четыре корня: Исходное уравнение имеет 4 различных корня, если уравнение для $y$ имеет два различных положительных корня ($y_1>0, y_2>0$). Из анализа в п.2 следует, что это происходит при $0 < k < \frac{169}{4}$.
• Три корня: Исходное уравнение имеет 3 корня, если уравнение для $y$ имеет один положительный корень и один корень, равный нулю ($y_1>0, y_2=0$). Это происходит при $k=0$. Корень $y=13$ дает $x=\pm\sqrt{13}$, а корень $y=0$ дает $x=0$.
• Два корня: Исходное уравнение имеет 2 корня в двух случаях:
  1. Уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Положительный корень $y$ дает два корня $x$, а отрицательный — ноль. Это происходит при $k<0$.
  2. Уравнение для $y$ имеет один единственный (кратный) положительный корень. Это происходит при $D=0 \implies k = \frac{169}{4}$. Корень $y=\frac{13}{2}$ положителен и дает два корня $x$.
• Нет корней: Исходное уравнение не имеет корней, если уравнение для $y$ не имеет положительных корней. Это происходит, когда:
  1. Уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Это происходит при $k > \frac{169}{4}$.
  2. Все действительные корни уравнения для $y$ отрицательны. Этот случай невозможен, так как их сумма равна 13.

На основе проведенного исследования ответим на поставленные вопросы.

а) имеет четыре корня

Биквадратное уравнение имеет четыре различных корня, когда соответствующее ему квадратное уравнение $y^2 - 13y + k = 0$ (где $y=x^2$) имеет два различных положительных корня. Это происходит, когда его дискриминант $D = 169 - 4k$ положителен (для двух различных корней) и произведение корней $k$ также положительно (чтобы оба корня были одного знака, а так как их сумма 13 положительна, то оба будут положительными). Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} D > 0 \\ k > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 169 - 4k > 0 \\ k > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < \frac{169}{4} \\ k > 0 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $0 < k < \frac{169}{4}$.

Ответ: при $k \in (0; \frac{169}{4})$.

б) имеет два корня

Биквадратное уравнение имеет два различных корня в двух случаях:
1. Квадратное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Положительный корень $y$ даст два корня для $x$, а отрицательный — ноль. Условием для этого является отрицательное произведение корней: $y_1 y_2 = k < 0$. При $k<0$ дискриминант $D = 169-4k > 169 > 0$, так что два различных корня для $y$ гарантированы.
2. Квадратное уравнение для $y$ имеет один единственный корень (кратности 2), и этот корень положителен. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, $D = 169 - 4k = 0$, то есть $k = \frac{169}{4}$. При этом значении $k$ единственный корень уравнения для $y$ равен $y = -\frac{-13}{2 \cdot 1} = \frac{13}{2}$, что является положительным числом. Этот корень $y$ даст два корня для $x$ ($x = \pm\sqrt{13/2}$).
Объединяя эти два случая, получаем, что исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: при $k \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{169}{4}\}$.

в) не имеет корней

Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если соответствующее квадратное уравнение $y^2 - 13y + k = 0$ не имеет неотрицательных корней. Это происходит в следующих случаях:
1. Уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант отрицателен: $D = 169 - 4k < 0$, что равносильно $k > \frac{169}{4}$.
2. Уравнение для $y$ имеет действительные корни, но все они отрицательны. Как было показано в пункте 2), этот случай невозможен, так как сумма корней $y_1+y_2=13$ положительна.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только в первом случае.

Ответ: при $k \in (\frac{169}{4}; +\infty)$.