Страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

358. Среди данных уравнений найдите уравнения прямых, уравнения гипербол, уравнения парабол, уравнения окружностей. Есть ли среди заданных уравнений те, которые не относятся ни к одному из перечисленных видов?

Проанализируем каждое уравнение, чтобы определить тип кривой, которую оно описывает.

Уравнения прямых

Уравнение прямой имеет общий вид $Ax + By + C = 0$.

• а) $\frac{x+y}{3} = 1$

  Умножим обе части на 3: $x + y = 3$.

  Перенесем 3 в левую часть: $x + y - 3 = 0$.

  Это уравнение является линейным, следовательно, это уравнение прямой.

• и) $2x = 3y$

  Перенесем $3y$ в левую часть: $2x - 3y = 0$.

  Это уравнение является линейным, следовательно, это уравнение прямой.

• к) $8x + 3y = 0$

  Это уравнение уже представлено в общем виде $Ax + By + C = 0$, где $C=0$. Следовательно, это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Ответ: а), и), к).

Уравнения гипербол

Уравнение гиперболы, оси которой повернуты на 45° относительно осей координат, имеет вид $xy = k$, где $k \neq 0$.

• в) $8 + 3xy = 4$

  Выразим член $xy$: $3xy = 4 - 8$, что дает $3xy = -4$.

  Разделим обе части на 3: $xy = -\frac{4}{3}$.

  Это уравнение гиперболы.

• е) $xy = 6$

  Это уравнение уже имеет вид $xy = k$, где $k=6$. Следовательно, это уравнение гиперболы.

Ответ: в), е).

Уравнения парабол

Уравнение параболы, оси которой параллельны оси ординат, имеет вид $y = ax^2 + bx + c$.

• б) $x^2 + 0,5y = 4$

  Выразим $y$: $0,5y = 4 - x^2$.

  Умножим обе части на 2: $y = 8 - 2x^2$ или $y = -2x^2 + 8$.

  Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз.

• д) $x^2 - 2x - y = 0$

  Выразим $y$: $y = x^2 - 2x$.

  Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх.

Ответ: б), д).

Уравнения окружностей

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ – радиус.

• г) $x^2 + y^2 - 16 = 0$

  Перенесем 16 в правую часть: $x^2 + y^2 = 16$.

  Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

• з) $x^2 + y^2 = 4$

  Это уравнение уже представлено в каноническом виде. Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: г), з).

Уравнения, которые не относятся ни к одному из перечисленных видов

• ж) $x^2 - y^2 = 0$

  Это уравнение можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$.

  Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то есть $x - y = 0$ или $x + y = 0$.

  Это соответствует двум пересекающимся прямым: $y = x$ и $y = -x$. Графиком является пара прямых, а не одна прямая, не гипербола (для которой $x^2 - y^2 = k$, где $k \neq 0$), не парабола и не окружность. Это вырожденная гипербола.

Ответ: ж).

359. Найдите координаты точек пересечения графика данного уравнения с осью х и с осью у. Постройте этот график.

а) $x - 2y = 3$

1. Нахождение точки пересечения с осью x (осью абсцисс).

На оси x координата $y$ всегда равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение графика:

$x - 2 \cdot 0 = 3$

$x = 3$

Таким образом, точка пересечения с осью x имеет координаты $(3; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y (осью ординат).

На оси y координата $x$ всегда равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение графика:

$0 - 2y = 3$

$-2y = 3$

$y = -3/2 = -1,5$

Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; -1,5)$.

3. Построение графика.

Графиком данного линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже нашли две точки: $(3; 0)$ и $(0; -1,5)$. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: точка пересечения с осью x: $(3; 0)$, точка пересечения с осью y: $(0; -1,5)$.

б) $y + 5x = -10$

1. Нахождение точки пересечения с осью x.

Подставим $y = 0$ в уравнение:

$0 + 5x = -10$

$5x = -10$

$x = -2$

Точка пересечения с осью x: $(-2; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y.

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$y + 5 \cdot 0 = -10$

$y = -10$

Точка пересечения с осью y: $(0; -10)$.

3. Построение графика.

График — это прямая, проходящая через точки $(-2; 0)$ и $(0; -10)$. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их прямой линией.

Ответ: точка пересечения с осью x: $(-2; 0)$, точка пересечения с осью y: $(0; -10)$.

в) $4x - 0,5y = 2$

1. Нахождение точки пересечения с осью x.

Подставим $y = 0$ в уравнение:

$4x - 0,5 \cdot 0 = 2$

$4x = 2$

$x = 2/4 = 0,5$

Точка пересечения с осью x: $(0,5; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y.

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$4 \cdot 0 - 0,5y = 2$

$-0,5y = 2$

$y = 2 / (-0,5) = -4$

Точка пересечения с осью y: $(0; -4)$.

3. Построение графика.

График — это прямая, проходящая через точки $(0,5; 0)$ и $(0; -4)$. Для построения графика отметим эти точки и проведем через них прямую.

Ответ: точка пересечения с осью x: $(0,5; 0)$, точка пересечения с осью y: $(0; -4)$.

г) $2 - 2x = y$

1. Нахождение точки пересечения с осью x.

Подставим $y = 0$ в уравнение:

$2 - 2x = 0$

$2 = 2x$

$x = 1$

Точка пересечения с осью x: $(1; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y.

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = 2 - 2 \cdot 0$

$y = 2$

Точка пересечения с осью y: $(0; 2)$.

3. Построение графика.

График — это прямая, проходящая через точки $(1; 0)$ и $(0; 2)$. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: точка пересечения с осью x: $(1; 0)$, точка пересечения с осью y: $(0; 2)$.

360. Покажите схематически, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения:

Чтобы схематически определить, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения, можно найти точки пересечения графика с осями координат Ox и Oy. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).

а) $5x - 8y = -2$

Для определения положения графика найдем его точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$5 \cdot 0 - 8y = -2$
$-8y = -2$
$y = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{1}{4})$. Эта точка находится на положительной полуоси Oy.

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$5x - 8 \cdot 0 = -2$
$5x = -2$
$x = -\frac{2}{5}$
Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{2}{5}; 0)$. Эта точка находится на отрицательной полуоси Ox.

Прямая соединяет точку на отрицательной части оси Ox и точку на положительной части оси Oy. Такая прямая проходит через II четверть. Продолжаясь, она пересекает I и III четверти.
Ответ: I, II, III.

б) $5x + 8y = 2$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$5 \cdot 0 + 8y = 2$
$8y = 2$
$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{1}{4})$ (положительная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$5x + 8 \cdot 0 = 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{5}; 0)$ (положительная полуось Ox).

Прямая пересекает обе оси в их положительных частях. Отрезок между точками пересечения находится в I четверти. Продолжаясь, прямая проходит через II и IV четверти.
Ответ: I, II, IV.

в) $3x + 4y = 25$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 + 4y = 25$
$4y = 25$
$y = \frac{25}{4} = 6.25$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6.25)$ (положительная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x + 4 \cdot 0 = 25$
$3x = 25$
$x = \frac{25}{3}$
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{25}{3}; 0)$ (положительная полуось Ox).

Как и в предыдущем случае, прямая пересекает обе оси в их положительных частях. График расположен в I, II и IV четвертях.
Ответ: I, II, IV.

г) $3x + 12y = -20$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 + 12y = -20$
$12y = -20$
$y = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{5}{3})$ (отрицательная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x + 12 \cdot 0 = -20$
$3x = -20$
$x = -\frac{20}{3}$
Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{20}{3}; 0)$ (отрицательная полуось Ox).

Прямая пересекает обе оси в их отрицательных частях. Отрезок между точками пересечения находится в III четверти. Продолжаясь, прямая проходит через II и IV четверти.
Ответ: II, III, IV.

д) $15x - 18 = 0$

Преобразуем уравнение:
$15x = 18$
$x = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$
Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $x=1.2$. Так как координата $x$ всегда положительна ($x > 0$), а координата $y$ может быть как положительной, так и отрицательной, прямая проходит через I и IV четверти.
Ответ: I, IV.

е) $10y + 5 = 0$

Преобразуем уравнение:
$10y = -5$
$y = -\frac{5}{10} = -0.5$
Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $y=-0.5$. Так как координата $y$ всегда отрицательна ($y < 0$), а координата $x$ может быть как положительной, так и отрицательной, прямая проходит через III и IV четверти.
Ответ: III, IV.