Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

361. Изобразив схематически графики линейных уравнений, выясните, в какой координатной четверти находятся точки их пересечения:

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+5y=8, \\ y-3x=5; \end{cases} $$

Для того чтобы схематически изобразить графики, преобразуем каждое уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - точка пересечения с осью $OY$.

Первое уравнение: $2x+5y=8$

$5y = -2x + 8$

$y = -\frac{2}{5}x + \frac{8}{5}$ или $y = -0.4x + 1.6$

Это убывающая линейная функция ($k = -0.4 < 0$), которая пересекает ось $OY$ в точке $(0; 1.6)$. Для построения прямой найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью $OX$ (где $y=0$):

$0 = -0.4x + 1.6 \implies 0.4x = 1.6 \implies x=4$. Точка $(4; 0)$.

График проходит через точки $(0; 1.6)$ и $(4; 0)$.

Второе уравнение: $y-3x=5$

$y = 3x + 5$

Это возрастающая линейная функция ($k = 3 > 0$), которая пересекает ось $OY$ в точке $(0; 5)$. Найдем точку пересечения с осью $OX$:

$0 = 3x+5 \implies 3x = -5 \implies x = -5/3 \approx -1.67$. Точка $(-5/3; 0)$.

График проходит через точки $(0; 5)$ и $(-5/3; 0)$.

Схематически: первый график — убывающая прямая, пересекающая оси в точках $(0; 1.6)$ и $(4; 0)$. Второй график — возрастающая прямая, пересекающая оси в точках $(0; 5)$ и $(-5/3; 0)$. Так как второй график пересекает ось $OY$ выше, чем первый, и он возрастает, а первый убывает, то их точка пересечения будет находиться левее оси $OY$ (где $x<0$) и выше оси $OX$ (где $y>0$). Эта область соответствует II координатной четверти.

Чтобы точно определить координаты точки пересечения, решим систему уравнений. Проще всего использовать метод подстановки, так как во втором уравнении $y$ уже выражен:

$y = 3x + 5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + 5(3x+5) = 8$

$2x + 15x + 25 = 8$

$17x = 8 - 25$

$17x = -17$

$x = -1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3(-1) + 5 = -3+5 = 2$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-1; 2)$. Так как абсцисса $x = -1$ отрицательна, а ордината $y = 2$ положительна, точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: точка пересечения находится во II координатной четверти.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x-2y=2, \\ x+0.5y=4. \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $5x-2y=2$

$-2y = -5x + 2$

$y = \frac{5}{2}x - 1$ или $y = 2.5x - 1$

Это возрастающая линейная функция ($k=2.5 > 0$), пересекающая ось $OY$ в точке $(0; -1)$. Точка пересечения с осью $OX$:

$0 = 2.5x - 1 \implies 2.5x = 1 \implies x = 0.4$. Точка $(0.4; 0)$.

Второе уравнение: $x+0.5y=4$

$0.5y = -x + 4$

$y = -2x + 8$

Это убывающая линейная функция ($k=-2 < 0$), пересекающая ось $OY$ в точке $(0; 8)$. Точка пересечения с осью $OX$:

$0 = -2x+8 \implies 2x = 8 \implies x=4$. Точка $(4; 0)$.

Схематически: первый график — возрастающая прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(0.4; 0)$. Второй график — убывающая прямая, проходящая через точки $(0; 8)$ и $(4; 0)$. Убывающий график пересекает ось $OY$ в положительной части, а возрастающий — в отрицательной. Следовательно, они пересекутся в области, где $x>0$ и $y>0$. Эта область соответствует I координатной четверти.

Для точного определения координат решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$4(x+0.5y) = 4 \cdot 4 \implies 4x + 2y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$$ \begin{array}{c} + \\ {} \end{array} \begin{cases} 5x - 2y = 2 \\ 4x + 2y = 16 \end{cases} $$

$(5x - 2y) + (4x + 2y) = 2 + 16$

$9x = 18$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$2 + 0.5y = 4$

$0.5y = 4 - 2$

$0.5y = 2$

$y = 4$

Точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$. Так как абсцисса $x = 2$ и ордината $y = 4$ положительны, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: точка пересечения находится в I координатной четверти.

362. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 55.

а) График представляет собой прямую линию. Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $b$ - ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

1. Найдем коэффициент $b$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; 1)$. Следовательно, $b = 1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Для этого выберем на графике две удобные точки с целыми координатами. Например, точка пересечения с осью $y$ - $A(0; 1)$ и точка пересечения с осью $x$ - $B(-2; 0)$.

Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек A и B: $k = \frac{1 - 0}{0 - (-2)} = \frac{1}{2}$.

3. Теперь подставим найденные значения $k$ и $b$ в уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Это уравнение можно также представить в виде $2y = x + 2$ или $x - 2y + 2 = 0$. Все эти формы эквивалентны.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$

б) Аналогично пункту а), найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$. Следовательно, $b = -1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Выберем две точки на графике: точку пересечения с осью $y$ - $A(0; -1)$ и точку пересечения с осью $x$ - $B(-1; 0)$.

Подставим координаты точек в формулу для углового коэффициента: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 0}{0 - (-1)} = \frac{-1}{1} = -1$.

3. Подставим найденные значения $k = -1$ и $b = -1$ в уравнение прямой: $y = -1 \cdot x + (-1)$, что можно записать как $y = -x - 1$.

Это уравнение можно также переписать в виде $x + y + 1 = 0$.

Ответ: $y = -x - 1$

в) График представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси $x$.

1. Для любой точки на этой прямой ордината (координата $y$) остается постоянной, в то время как абсцисса (координата $x$) может быть любой.

2. Из графика видно, что прямая проходит через точку $(0; -1)$. Это означает, что для любой точки на этой прямой координата $y$ равна $-1$.

3. Таким образом, уравнение этой прямой: $y = -1$.

Это уравнение с двумя переменными, если его записать в общем виде: $0 \cdot x + 1 \cdot y = -1$, или $0x + y + 1 = 0$.

Ответ: $y = -1$

363. Постройте график уравнения (y – 5x)(x + y + 4) = 0.

Данное уравнение $(y - 5x)(x + y + 4) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y - 5x = 0$

или

$x + y + 4 = 0$

Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух уравнений, каждое из которых является прямой линией.

Построение графика уравнения $y - 5x = 0$

Выразим y через x, чтобы получить уравнение в стандартном виде для линейной функции $y=kx+b$:

$y = 5x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, так как свободный член равен нулю. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$, $y = 5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.

2. При $x = 1$, $y = 5 \cdot 1 = 5$. Получаем точку $(1; 5)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график первого уравнения.

Построение графика уравнения $x + y + 4 = 0$

Выразим y через x:

$y = -x - 4$

Это также уравнение прямой. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = -0 - 4 = -4$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -4)$.

2. При $y = 0$, $0 = -x - 4$, откуда $x = -4$. Точка пересечения с осью OX: $(-4; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график второго уравнения.

Итоговый график исходного уравнения $(y - 5x)(x + y + 4) = 0$ представляет собой совокупность (объединение) этих двух прямых, построенных в одной системе координат.

Ответ: Графиком уравнения $(y - 5x)(x + y + 4) = 0$ является объединение двух прямых, заданных уравнениями $y = 5x$ и $y = -x - 4$.

364. Постройте график уравнения:

а) Чтобы построить график уравнения $2y - 0.5x^2 = 0$, необходимо выразить переменную $y$ через $x$.
$2y = 0.5x^2$
$y = \frac{0.5}{2}x^2$
$y = 0.25x^2$ (или $y = \frac{1}{4}x^2$)
Это уравнение является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2$, графиком которой является парабола.
Ключевые характеристики параболы:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент $a = 0.25 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — это ось ординат ($Oy$).

• при $x = 0$, $y = 0.25 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y = 0.25 \cdot 2^2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x = -2$, $y = 0.25 \cdot (-2)^2 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• при $x = 4$, $y = 0.25 \cdot 4^2 = 4$. Точка $(4, 4)$.
• при $x = -4$, $y = 0.25 \cdot (-4)^2 = 4$. Точка $(-4, 4)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения $2y - 0.5x^2 = 0$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

б) Чтобы построить график уравнения $x^2 - 3y = 6$, выразим $y$ через $x$.
$-3y = 6 - x^2$
$3y = x^2 - 6$
$y = \frac{1}{3}x^2 - 2$
Это уравнение квадратичной функции вида $y = ax^2 + c$, графиком которой является парабола.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен смещением параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.
• Коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(3, 1)$.
• при $x = -3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 - 2 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• при $x = \sqrt{6} \approx 2.45$, $y = 0$. Точка $(\sqrt{6}, 0)$.
• при $x = -\sqrt{6} \approx -2.45$, $y = 0$. Точка $(-\sqrt{6}, 0)$.

Соединяем точки плавной кривой для получения графика.
Ответ: Графиком уравнения $x^2 - 3y = 6$ является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх.

в) Чтобы построить график уравнения $4x^2 = 8 - y$, выразим $y$ через $x$.
$y = 8 - 4x^2$
$y = -4x^2 + 8$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен из параболы $y = -4x^2$ смещением на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 8)$.
• Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = -4 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.
• при $x = 1$, $y = -4 \cdot 1^2 + 8 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• при $x = -1$, $y = -4 \cdot (-1)^2 + 8 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• при $x = 2$, $y = -4 \cdot 2^2 + 8 = -8$. Точка $(2, -8)$.
• при $x = -2$, $y = -4 \cdot (-2)^2 + 8 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Отметив эти точки и соединив их, получим график параболы.
Ответ: Графиком уравнения $4x^2 = 8 - y$ является парабола с вершиной в точке $(0, 8)$ и ветвями, направленными вниз.

г) Чтобы построить график уравнения $-5x^2 + 2y = 3$, выразим $y$ через $x$.
$2y = 5x^2 + 3$
$y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{3}{2}$
$y = 2.5x^2 + 1.5$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен смещением параболы $y = 2.5x^2$ на 1.5 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 1.5)$.
• Коэффициент $a = 2.5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

• при $x = 0$, $y = 2.5 \cdot 0^2 + 1.5 = 1.5$. Точка $(0, 1.5)$.
• при $x = 1$, $y = 2.5 \cdot 1^2 + 1.5 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• при $x = -1$, $y = 2.5 \cdot (-1)^2 + 1.5 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• при $x = 2$, $y = 2.5 \cdot 2^2 + 1.5 = 11.5$. Точка $(2, 11.5)$.

Соединяем точки плавной кривой для построения графика.
Ответ: Графиком уравнения $-5x^2 + 2y = 3$ является парабола с вершиной в точке $(0, 1.5)$ и ветвями, направленными вверх.

365. Постройте график уравнения:

a) $3xy = 12$

Для построения графика преобразуем данное уравнение. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить произведение $xy$:

$xy = \frac{12}{3}$

$xy = 4$

Теперь выразим $y$ через $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$y = \frac{4}{x}$

Это уравнение является уравнением обратной пропорциональности. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для построения графика:

По этим точкам строим две ветви гиперболы, симметричные относительно начала координат.

Ответ: Графиком уравнения $3xy = 12$ является гипербола $y = \frac{4}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б) $\frac{1}{2}xy = 6$

Преобразуем уравнение. Умножим обе части на 2:

$xy = 6 \cdot 2$

$xy = 12$

Выразим $y$ через $x$ (при $x \neq 0$):

$y = \frac{12}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Коэффициент $k=12$ положителен, значит, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Составим таблицу значений:

Строим график по точкам.

Ответ: Графиком уравнения $\frac{1}{2}xy = 6$ является гипербола $y = \frac{12}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

в) $2xy = -8$

Преобразуем уравнение, разделив обе части на 2:

$xy = \frac{-8}{2}$

$xy = -4$

Выразим $y$ через $x$ (при $x \neq 0$):

$y = -\frac{4}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности. Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=-4$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Составим таблицу значений:

По этим точкам строим две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком уравнения $2xy = -8$ является гипербола $y = -\frac{4}{x}$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

г) $\frac{1}{2}xy = -6$

Преобразуем уравнение, умножив обе части на 2:

$xy = -6 \cdot 2$

$xy = -12$

Выразим $y$ через $x$ (при $x \neq 0$):

$y = -\frac{12}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности. График — гипербола. Коэффициент $k=-12$ отрицателен, следовательно, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Составим таблицу значений:

Строим график по полученным точкам.

Ответ: Графиком уравнения $\frac{1}{2}xy = -6$ является гипербола $y = -\frac{12}{x}$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

366. График уравнения xy = k проходит через точку (–2; 4). Найдите число k и постройте этот график.

Найдите число k

По условию задачи, график уравнения $xy = k$ проходит через точку с координатами $(-2; 4)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Чтобы найти коэффициент $k$, мы можем подставить значения $x = -2$ и $y = 4$ в уравнение.

Выполним подстановку:

$(-2) \cdot 4 = k$

$k = -8$

Ответ: $k = -8$.

Постройте этот график

После нахождения $k$ мы получаем конкретное уравнение графика: $xy = -8$. Это уравнение можно представить в виде функции обратной пропорциональности:

$y = -8/x$

Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = -8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Оси координат Ox и Oy являются асимптотами для этого графика, то есть график бесконечно к ним приближается, но не пересекает их.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек, принадлежащих ему:

Чтобы построить график, нужно нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их двумя плавными кривыми (одна кривая во II четверти, другая — в IV).

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = -8/x$, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

367. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, зная, что она проходит через точку:

а) A(–2; 5);

б) B(3; 4);

в) C(8; 0).

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Уравнение окружности упрощается до вида: $x^2 + y^2 = R^2$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от ее центра до любой точки на окружности. Чтобы найти конкретное уравнение для каждого случая, нам нужно вычислить квадрат радиуса $R^2$. Мы можем сделать это, подставив координаты точки, через которую проходит окружность, в левую часть уравнения.

а) Дано, что окружность проходит через точку $A(-2; \sqrt{5})$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $A$ в выражение $x^2 + y^2$:

$R^2 = (-2)^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 9$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 9$.

б) Дано, что окружность проходит через точку $B(3; 4)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $B$:

$R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$.

в) Дано, что окружность проходит через точку $C(8; 0)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $C$:

$R^2 = 8^2 + 0^2 = 64 + 0 = 64$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 64$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 64$.

368. Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке K(2; –5) и она проходит через точку:

а) А(–1; –1);

б) B(–3; 7);

в) C(1; –4).

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в точке $K(2; -5)$. Это означает, что $x_0 = 2$ и $y_0 = -5$. Таким образом, уравнение окружности для всех трех случаев будет иметь вид: $(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R^2$, что можно упростить до $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R^2$.

Для того чтобы найти полное уравнение окружности, нам необходимо определить ее радиус $R$. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на ней. Мы можем найти квадрат радиуса ($R^2$), вычислив квадрат расстояния между центром $K$ и заданной точкой.

а) Окружность проходит через точку $A(-1; -1)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $A(-1; -1)$:
$R^2 = (-1 - 2)^2 + (-1 - (-5))^2 = (-3)^2 + (-1 + 5)^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$.

б) Окружность проходит через точку $B(-3; 7)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $B(-3; 7)$:
$R^2 = (-3 - 2)^2 + (7 - (-5))^2 = (-5)^2 + (7 + 5)^2 = 25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Подставим найденное значение $R^2 = 169$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$.

в) Окружность проходит через точку $C(1; -4)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $C(1; -4)$:
$R^2 = (1 - 2)^2 + (-4 - (-5))^2 = (-1)^2 + (-4 + 5)^2 = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Подставим найденное значение $R^2 = 2$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$.

369. Докажите, что графиком уравнения x² + y² – 6(x – y) = 7 является окружность.

Для того чтобы доказать, что графиком данного уравнения является окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Исходное уравнение:
$x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$x^2 + y^2 - 6x + 6y = 7$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$ соответственно:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) = 7$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.
Для группы с $y$: $y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.

Добавим эти значения ($9$ и $9$) к обеим частям уравнения, чтобы сохранить равенство:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты и вычислим значение в правой части:
$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с общим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, мы видим, что это уравнение окружности с центром в точке $(a, b) = (3, -3)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку исходное уравнение удалось преобразовать к каноническому виду уравнения окружности с действительным положительным радиусом, то его графиком является окружность.

Ответ: Исходное уравнение $x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$ приводится к виду $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$, что является каноническим уравнением окружности с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $R=5$. Следовательно, графиком уравнения является окружность.