Номер 361, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 361, страница 115.

Условие.

361. Изобразив схематически графики линейных уравнений, выясните, в какой координатной четверти находятся точки их пересечения:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+5y=8, \\ y-3x=5; \end{cases} $$

Для того чтобы схематически изобразить графики, преобразуем каждое уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - точка пересечения с осью $OY$.

Первое уравнение: $2x+5y=8$

$5y = -2x + 8$

$y = -\frac{2}{5}x + \frac{8}{5}$ или $y = -0.4x + 1.6$

Это убывающая линейная функция ($k = -0.4 < 0$), которая пересекает ось $OY$ в точке $(0; 1.6)$. Для построения прямой найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью $OX$ (где $y=0$):

$0 = -0.4x + 1.6 \implies 0.4x = 1.6 \implies x=4$. Точка $(4; 0)$.

График проходит через точки $(0; 1.6)$ и $(4; 0)$.

Второе уравнение: $y-3x=5$

$y = 3x + 5$

Это возрастающая линейная функция ($k = 3 > 0$), которая пересекает ось $OY$ в точке $(0; 5)$. Найдем точку пересечения с осью $OX$:

$0 = 3x+5 \implies 3x = -5 \implies x = -5/3 \approx -1.67$. Точка $(-5/3; 0)$.

График проходит через точки $(0; 5)$ и $(-5/3; 0)$.

Схематически: первый график — убывающая прямая, пересекающая оси в точках $(0; 1.6)$ и $(4; 0)$. Второй график — возрастающая прямая, пересекающая оси в точках $(0; 5)$ и $(-5/3; 0)$. Так как второй график пересекает ось $OY$ выше, чем первый, и он возрастает, а первый убывает, то их точка пересечения будет находиться левее оси $OY$ (где $x<0$) и выше оси $OX$ (где $y>0$). Эта область соответствует II координатной четверти.

Чтобы точно определить координаты точки пересечения, решим систему уравнений. Проще всего использовать метод подстановки, так как во втором уравнении $y$ уже выражен:

$y = 3x + 5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + 5(3x+5) = 8$

$2x + 15x + 25 = 8$

$17x = 8 - 25$

$17x = -17$

$x = -1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3(-1) + 5 = -3+5 = 2$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-1; 2)$. Так как абсцисса $x = -1$ отрицательна, а ордината $y = 2$ положительна, точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: точка пересечения находится во II координатной четверти.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x-2y=2, \\ x+0.5y=4. \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $5x-2y=2$

$-2y = -5x + 2$

$y = \frac{5}{2}x - 1$ или $y = 2.5x - 1$

Это возрастающая линейная функция ($k=2.5 > 0$), пересекающая ось $OY$ в точке $(0; -1)$. Точка пересечения с осью $OX$:

$0 = 2.5x - 1 \implies 2.5x = 1 \implies x = 0.4$. Точка $(0.4; 0)$.

Второе уравнение: $x+0.5y=4$

$0.5y = -x + 4$

$y = -2x + 8$

Это убывающая линейная функция ($k=-2 < 0$), пересекающая ось $OY$ в точке $(0; 8)$. Точка пересечения с осью $OX$:

$0 = -2x+8 \implies 2x = 8 \implies x=4$. Точка $(4; 0)$.

Схематически: первый график — возрастающая прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(0.4; 0)$. Второй график — убывающая прямая, проходящая через точки $(0; 8)$ и $(4; 0)$. Убывающий график пересекает ось $OY$ в положительной части, а возрастающий — в отрицательной. Следовательно, они пересекутся в области, где $x>0$ и $y>0$. Эта область соответствует I координатной четверти.

Для точного определения координат решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$4(x+0.5y) = 4 \cdot 4 \implies 4x + 2y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$$ \begin{array}{c} + \\ {} \end{array} \begin{cases} 5x - 2y = 2 \\ 4x + 2y = 16 \end{cases} $$

$(5x - 2y) + (4x + 2y) = 2 + 16$

$9x = 18$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$2 + 0.5y = 4$

$0.5y = 4 - 2$

$0.5y = 2$

$y = 4$

Точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$. Так как абсцисса $x = 2$ и ордината $y = 4$ положительны, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: точка пересечения находится в I координатной четверти.