Номер 360, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 360, страница 114.

Условие.

360. Покажите схематически, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения:

Решение 1.

Решение 8.

Чтобы схематически определить, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения, можно найти точки пересечения графика с осями координат Ox и Oy. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).

а) $5x - 8y = -2$

Для определения положения графика найдем его точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$5 \cdot 0 - 8y = -2$
$-8y = -2$
$y = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{1}{4})$. Эта точка находится на положительной полуоси Oy.

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$5x - 8 \cdot 0 = -2$
$5x = -2$
$x = -\frac{2}{5}$
Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{2}{5}; 0)$. Эта точка находится на отрицательной полуоси Ox.

Прямая соединяет точку на отрицательной части оси Ox и точку на положительной части оси Oy. Такая прямая проходит через II четверть. Продолжаясь, она пересекает I и III четверти.
Ответ: I, II, III.

б) $5x + 8y = 2$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$5 \cdot 0 + 8y = 2$
$8y = 2$
$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{1}{4})$ (положительная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$5x + 8 \cdot 0 = 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{5}; 0)$ (положительная полуось Ox).

Прямая пересекает обе оси в их положительных частях. Отрезок между точками пересечения находится в I четверти. Продолжаясь, прямая проходит через II и IV четверти.
Ответ: I, II, IV.

в) $3x + 4y = 25$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 + 4y = 25$
$4y = 25$
$y = \frac{25}{4} = 6.25$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6.25)$ (положительная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x + 4 \cdot 0 = 25$
$3x = 25$
$x = \frac{25}{3}$
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{25}{3}; 0)$ (положительная полуось Ox).

Как и в предыдущем случае, прямая пересекает обе оси в их положительных частях. График расположен в I, II и IV четвертях.
Ответ: I, II, IV.

г) $3x + 12y = -20$

1. Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 + 12y = -20$
$12y = -20$
$y = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{5}{3})$ (отрицательная полуось Oy).

2. Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x + 12 \cdot 0 = -20$
$3x = -20$
$x = -\frac{20}{3}$
Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{20}{3}; 0)$ (отрицательная полуось Ox).

Прямая пересекает обе оси в их отрицательных частях. Отрезок между точками пересечения находится в III четверти. Продолжаясь, прямая проходит через II и IV четверти.
Ответ: II, III, IV.

д) $15x - 18 = 0$

Преобразуем уравнение:
$15x = 18$
$x = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$
Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $x=1.2$. Так как координата $x$ всегда положительна ($x > 0$), а координата $y$ может быть как положительной, так и отрицательной, прямая проходит через I и IV четверти.
Ответ: I, IV.

е) $10y + 5 = 0$

Преобразуем уравнение:
$10y = -5$
$y = -\frac{5}{10} = -0.5$
Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $y=-0.5$. Так как координата $y$ всегда отрицательна ($y < 0$), а координата $x$ может быть как положительной, так и отрицательной, прямая проходит через III и IV четверти.
Ответ: III, IV.