Номер 354, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 354, страница 108.

Условие.

354. Найдите область определения функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = \frac{4}{\sqrt{(3x-1)(6x+1)}}$

Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго больше нуля. Это требование объединяет два условия: знаменатель не может быть равен нулю, и подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$(3x-1)(6x+1) > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(3x-1)(6x+1) = 0$.

$3x-1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

$6x+1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{6}$

Отметим найденные корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{6})$, $(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(3x-1)(6x+1)$ на каждом интервале. Графиком функции $f(x) = (3x-1)(6x+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $3 \cdot 6 = 18 > 0$). Следовательно, выражение положительно на крайних интервалах (вне корней) и отрицательно на среднем интервале (между корнями).

Неравенство $(3x-1)(6x+1) > 0$ выполняется, когда $x$ принадлежит интервалам, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -\frac{1}{6})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$. Объединение этих интервалов и является областью определения функции. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $y = \frac{7}{\sqrt{(11x+2)(x-4)}}$

Аналогично предыдущему пункту, область определения функции задается условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$(11x+2)(x-4) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(11x+2)(x-4) = 0$, чтобы использовать метод интервалов.

$11x+2 = 0 \implies 11x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{11}$

$x-4 = 0 \implies x_2 = 4$

Нанесем точки $x_1 = -\frac{2}{11}$ и $x_2 = 4$ на числовую ось. Они делят ее на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{11})$, $(-\frac{2}{11}; 4)$ и $(4; +\infty)$.

График функции $f(x) = (11x+2)(x-4)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $11 > 0$). Это означает, что выражение положительно на интервалах слева и справа от корней и отрицательно между ними.

Следовательно, неравенство $(11x+2)(x-4) > 0$ истинно для интервалов $(-\infty; -\frac{2}{11})$ и $(4; +\infty)$. Это и есть искомая область определения функции. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{11}) \cup (4; +\infty)$.