Номер 351, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 351, страница 108.

Условие.

351. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(18x - 36)(x - 7) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(18x - 36)(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $18x - 36 = 0 \Rightarrow 18x = 36 \Rightarrow x_1 = 2$

2) $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$

Отметим корни $2$ и $7$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Функция $y = (18x - 36)(x - 7) = 18(x-2)(x-7)$ является параболой, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($18 > 0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями и отрицательны между корнями.

Таким образом, знаки на интервалах будут следующими: + на $(-\infty; 2)$, - на $(2; 7)$, + на $(7; \infty)$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; \infty)$.

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0$

Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:

1) $x - 7,3 = 0 \Rightarrow x_1 = 7,3$

2) $9,8 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 9,8$

Отметим корни $7,3$ и $9,8$ на числовой прямой. Они образуют интервалы $(-\infty; 7,3)$, $(7,3; 9,8)$ и $(9,8; \infty)$.

Для удобства определения знаков преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из второй скобки:

$(x - 7,3)(-(x - 9,8)) > 0$

$-(x - 7,3)(x - 9,8) > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 7,3)(x - 9,8) < 0$

График функции $y = (x - 7,3)(x - 9,8)$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал между $7,3$ и $9,8$.

Ответ: $x \in (7,3; 9,8)$.

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули функции $f(x) = (x + 0,8)(4 - x)(x - 20)$:

1) $x + 0,8 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,8$

2) $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

3) $x - 20 = 0 \Rightarrow x_3 = 20$

Нанесем корни $-0,8$, $4$ и $20$ на числовую ось. Они делят ее на четыре интервала: $(-\infty; -0,8)$, $(-0,8; 4)$, $(4; 20)$ и $(20; \infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(20; \infty)$, взяв, например, $x = 21$:

$(21 + 0,8)(4 - 21)(21 - 20) = (21,8)(-17)(1) < 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем: - на $(20; \infty)$, + на $(4; 20)$, - на $(-0,8; 4)$, + на $(-\infty; -0,8)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком "?".

Альтернативный способ: преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из второго множителя:

$-(x + 0,8)(x - 4)(x - 20) < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$(x + 0,8)(x - 4)(x - 20) > 0$

Теперь ищем интервалы, где выражение положительно. Это будут те же интервалы, которые мы пометили знаком "+": $(-0,8; 4)$ и $(20; \infty)$.

Ответ: $x \in (-0,8; 4) \cup (20; \infty)$.

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0$

Используем метод интервалов. Находим корни, приравнивая левую часть к нулю:

1) $10x + 3 = 0 \Rightarrow 10x = -3 \Rightarrow x_1 = -0,3$

2) $17 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 17$

3) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-0,3$, $5$, $17$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $f(x) = (10x + 3)(17 - x)(x - 5)$ в каждом из интервалов. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=20$:

$f(20) = (10 \cdot 20 + 3)(17 - 20)(20 - 5) = (203)(-3)(15)$. Результат отрицательный.

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки на интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: - на $(17; \infty)$, + на $(5; 17)$, - на $(-0,3; 5)$, + на $(-\infty; -0,3)$.

Нам нужно решить неравенство $\ge 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "+" и включаем сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [5; 17]$.