Номер 358, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

358. Среди данных уравнений найдите уравнения прямых, уравнения гипербол, уравнения парабол, уравнения окружностей. Есть ли среди заданных уравнений те, которые не относятся ни к одному из перечисленных видов?

Проанализируем каждое уравнение, чтобы определить тип кривой, которую оно описывает.

Уравнения прямых

Уравнение прямой имеет общий вид $Ax + By + C = 0$.

• а) $\frac{x+y}{3} = 1$

  Умножим обе части на 3: $x + y = 3$.

  Перенесем 3 в левую часть: $x + y - 3 = 0$.

  Это уравнение является линейным, следовательно, это уравнение прямой.

• и) $2x = 3y$

  Перенесем $3y$ в левую часть: $2x - 3y = 0$.

  Это уравнение является линейным, следовательно, это уравнение прямой.

• к) $8x + 3y = 0$

  Это уравнение уже представлено в общем виде $Ax + By + C = 0$, где $C=0$. Следовательно, это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Ответ: а), и), к).

Уравнения гипербол

Уравнение гиперболы, оси которой повернуты на 45° относительно осей координат, имеет вид $xy = k$, где $k \neq 0$.

• в) $8 + 3xy = 4$

  Выразим член $xy$: $3xy = 4 - 8$, что дает $3xy = -4$.

  Разделим обе части на 3: $xy = -\frac{4}{3}$.

  Это уравнение гиперболы.

• е) $xy = 6$

  Это уравнение уже имеет вид $xy = k$, где $k=6$. Следовательно, это уравнение гиперболы.

Ответ: в), е).

Уравнения парабол

Уравнение параболы, оси которой параллельны оси ординат, имеет вид $y = ax^2 + bx + c$.

• б) $x^2 + 0,5y = 4$

  Выразим $y$: $0,5y = 4 - x^2$.

  Умножим обе части на 2: $y = 8 - 2x^2$ или $y = -2x^2 + 8$.

  Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз.

• д) $x^2 - 2x - y = 0$

  Выразим $y$: $y = x^2 - 2x$.

  Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх.

Ответ: б), д).

Уравнения окружностей

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ – радиус.

• г) $x^2 + y^2 - 16 = 0$

  Перенесем 16 в правую часть: $x^2 + y^2 = 16$.

  Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

• з) $x^2 + y^2 = 4$

  Это уравнение уже представлено в каноническом виде. Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: г), з).

Уравнения, которые не относятся ни к одному из перечисленных видов

• ж) $x^2 - y^2 = 0$

  Это уравнение можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$.

  Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то есть $x - y = 0$ или $x + y = 0$.

  Это соответствует двум пересекающимся прямым: $y = x$ и $y = -x$. Графиком является пара прямых, а не одна прямая, не гипербола (для которой $x^2 - y^2 = k$, где $k \neq 0$), не парабола и не окружность. Это вырожденная гипербола.

Ответ: ж).