Номер 353, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

353. Решите неравенство:

а)

Дано неравенство $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0$.

Рассмотрим множитель $(x^2 + 17)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 17 \ge 17$. Это означает, что выражение $x^2 + 17$ всегда положительно.

Так как $(x^2 + 17) > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x - 6)(x + 2) < 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 6)$ и $(6, \infty)$.

График функции $y = (x - 6)(x + 2)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал, где $y < 0$, то есть $(-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$

б)

Дано неравенство $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0$.

Рассмотрим множитель $(2x^2 + 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $2x^2 \ge 0$, и, следовательно, $2x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $2x^2 + 1$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(2x^2 + 1)$, знак неравенства при этом не изменится:

$x(x - 4) > 0$

Решим это квадратичное неравенство. Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, \infty)$.

График функции $y = x(x - 4)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов, где $y > 0$, то есть $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$

в)

Дано неравенство $(x - 1)^2(x - 24) < 0$.

Рассмотрим множитель $(x - 1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Неравенство строгое ($<0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

При $x \neq 1$ множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, другой множитель $(x - 24)$ должен быть отрицательным.

Таким образом, мы решаем систему из двух условий:

$\begin{cases} x - 24 < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 24$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть меньше 24, но не равен 1.

Решение можно записать в виде объединения двух интервалов: $(-\infty, 1) \cup (1, 24)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24)$

г)

Дано неравенство $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) > 0$.

Рассмотрим множитель $(x - 4)^2$. Это выражение всегда неотрицательно: $(x - 4)^2 \ge 0$.

Неравенство строгое ($>0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что все множители должны быть отличны от нуля:

$x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

$x - 21 \neq 0 \Rightarrow x \neq 21$

При $x \neq 4$ множитель $(x - 4)^2$ всегда положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства. При этом нужно помнить об условии $x \neq 4$.

Получаем неравенство: $(x + 7)(x - 21) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x + 7)(x - 21) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 21$.

График функции $y = (x + 7)(x - 21)$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -7) \cup (21, \infty)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 4$. Число 4 не входит в полученное множество решений, так как оно находится в интервале $(-7, 21)$. Поэтому дополнительно исключать ничего не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (21, \infty)$