Номер 355, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 355, страница 109.

Условие.

355. Равносильны ли неравенства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, необходимо найти множество решений для каждого неравенства и сравнить их.

а) Сравним неравенства $ \frac{x-3}{x+1} \ge 0 $ и $ (x-3)(x+1) \ge 0 $.

Для первого неравенства $ \frac{x-3}{x+1} \ge 0 $ найдем его множество решений. Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя: $ x-3=0 \implies x=3 $ $ x+1=0 \implies x=-1 $ Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq -1 $. Точка $ x=3 $ является решением, так как неравенство нестрогое ($ \ge $). Нанесем точки на числовую ось, при этом $ -1 $ будет выколотой точкой, а $ 3 $ — закрашенной. Определим знаки выражения на полученных интервалах: - при $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0 $ (знак +) - при $ -1 < x < 3 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{0-3}{0+1} = -3 < 0 $ (знак -) - при $ x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0 $ (знак +) Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем закрашенную точку. Множество решений первого неравенства: $ x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty) $.

Для второго неравенства $ (x-3)(x+1) \ge 0 $ также применим метод интервалов. Найдем корни выражения: $ (x-3)(x+1) = 0 \implies x=3 $ или $ x=-1 $. Поскольку неравенство нестрогое, обе точки являются решениями. Знаки на интервалах будут такими же, как и у дроби. Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем обе граничные точки. Множество решений второго неравенства: $ x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) $.

Сравним полученные множества решений: $ (-\infty, -1) \cup [3, \infty) $ и $ (-\infty, -1] \cup [3, \infty) $. Эти множества не совпадают. Различие заключается в точке $ x=-1 $: она входит в множество решений второго неравенства, но не входит в множество решений первого (из-за ОДЗ). Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.

б) Сравним неравенства $ \frac{x+5}{x-8} \le 0 $ и $ (x+5)(x-8) \le 0 $.

Решим первое неравенство $ \frac{x+5}{x-8} \le 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x+5=0 \implies x=-5 $ $ x-8=0 \implies x=8 $ По ОДЗ, $ x \neq 8 $. Точка $ x=-5 $ является решением, так как неравенство нестрогое ($ \le $). Нанесем точки на числовую ось: $ -5 $ — закрашенная, $ 8 $ — выколотая. Определим знаки выражения на интервалах: - при $ x > 8 $: знак + - при $ -5 < x < 8 $: знак - - при $ x < -5 $: знак + Выбираем интервал со знаком «-» и включаем закрашенную точку. Множество решений первого неравенства: $ x \in [-5, 8) $.

Решим второе неравенство $ (x+5)(x-8) \le 0 $. Корни выражения: $ x=-5 $ и $ x=8 $. Так как неравенство нестрогое, обе точки являются решениями. Знаки на интервалах такие же, как и в предыдущем случае. Выбираем интервал со знаком «-» и включаем обе граничные точки. Множество решений второго неравенства: $ x \in [-5, 8] $.

Сравним множества решений: $ [-5, 8) $ и $ [-5, 8] $. Множества не совпадают. Различие в точке $ x=8 $: она является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.