Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

355. Равносильны ли неравенства:

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, необходимо найти множество решений для каждого неравенства и сравнить их.

а) Сравним неравенства $ \frac{x-3}{x+1} \ge 0 $ и $ (x-3)(x+1) \ge 0 $.

Для первого неравенства $ \frac{x-3}{x+1} \ge 0 $ найдем его множество решений. Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя: $ x-3=0 \implies x=3 $ $ x+1=0 \implies x=-1 $ Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq -1 $. Точка $ x=3 $ является решением, так как неравенство нестрогое ($ \ge $). Нанесем точки на числовую ось, при этом $ -1 $ будет выколотой точкой, а $ 3 $ — закрашенной. Определим знаки выражения на полученных интервалах: - при $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0 $ (знак +) - при $ -1 < x < 3 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{0-3}{0+1} = -3 < 0 $ (знак -) - при $ x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0 $ (знак +) Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем закрашенную точку. Множество решений первого неравенства: $ x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty) $.

Для второго неравенства $ (x-3)(x+1) \ge 0 $ также применим метод интервалов. Найдем корни выражения: $ (x-3)(x+1) = 0 \implies x=3 $ или $ x=-1 $. Поскольку неравенство нестрогое, обе точки являются решениями. Знаки на интервалах будут такими же, как и у дроби. Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем обе граничные точки. Множество решений второго неравенства: $ x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) $.

Сравним полученные множества решений: $ (-\infty, -1) \cup [3, \infty) $ и $ (-\infty, -1] \cup [3, \infty) $. Эти множества не совпадают. Различие заключается в точке $ x=-1 $: она входит в множество решений второго неравенства, но не входит в множество решений первого (из-за ОДЗ). Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.

б) Сравним неравенства $ \frac{x+5}{x-8} \le 0 $ и $ (x+5)(x-8) \le 0 $.

Решим первое неравенство $ \frac{x+5}{x-8} \le 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x+5=0 \implies x=-5 $ $ x-8=0 \implies x=8 $ По ОДЗ, $ x \neq 8 $. Точка $ x=-5 $ является решением, так как неравенство нестрогое ($ \le $). Нанесем точки на числовую ось: $ -5 $ — закрашенная, $ 8 $ — выколотая. Определим знаки выражения на интервалах: - при $ x > 8 $: знак + - при $ -5 < x < 8 $: знак - - при $ x < -5 $: знак + Выбираем интервал со знаком «-» и включаем закрашенную точку. Множество решений первого неравенства: $ x \in [-5, 8) $.

Решим второе неравенство $ (x+5)(x-8) \le 0 $. Корни выражения: $ x=-5 $ и $ x=8 $. Так как неравенство нестрогое, обе точки являются решениями. Знаки на интервалах такие же, как и в предыдущем случае. Выбираем интервал со знаком «-» и включаем обе граничные точки. Множество решений второго неравенства: $ x \in [-5, 8] $.

Сравним множества решений: $ [-5, 8) $ и $ [-5, 8] $. Множества не совпадают. Различие в точке $ x=8 $: она является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.

356. Решите неравенство:

a) Решим неравенство $\frac{x-8}{x+4} > 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.
Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.
Отмечаем точки $-4$ и $8$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 8)$ и $(8, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- при $x > 8$ (например, $x=10$), $\frac{10-8}{10+4} = \frac{2}{14} > 0$. Знак "+".
- при $-4 < x < 8$ (например, $x=0$), $\frac{0-8}{0+4} = -2 < 0$. Знак "-".
- при $x < -4$ (например, $x=-5$), $\frac{-5-8}{-5+4} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $ > 0$, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (8, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x+16}{x-11} < 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$.
Нуль знаменателя: $x - 11 = 0 \implies x = 11$.
Отмечаем точки $-16$ и $11$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty, -16)$, $(-16, 11)$, $(11, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- при $x > 11$ (например, $x=12$), $\frac{12+16}{12-11} = 28 > 0$. Знак "+".
- при $-16 < x < 11$ (например, $x=0$), $\frac{0+16}{0-11} = -\frac{16}{11} < 0$. Знак "-".
- при $x < -16$ (например, $x=-20$), $\frac{-20+16}{-20-11} = \frac{-4}{-31} > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $ < 0$, выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-16, 11)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+1}{3-x} \ge 0$.
Чтобы коэффициент при $x$ в знаменателе был положительным, умножим дробь на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x+1}{-(x-3)} \ge 0 \implies \frac{x+1}{x-3} \le 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=-1$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=3$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x+1}{x-3}$ на интервалах:
- при $x > 3$ (например, $x=4$), $\frac{4+1}{4-3} > 0$. Знак "+".
- при $-1 < x < 3$ (например, $x=0$), $\frac{0+1}{0-3} < 0$. Знак "-".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$), $\frac{-2+1}{-2-3} > 0$. Знак "+".
Поскольку мы решаем неравенство $\le 0$, выбираем интервал со знаком "-". Точка $x=-1$ включается в решение.
Ответ: $x \in [-1, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{6-x}{x-4} \le 0$.
Умножим дробь на $-1$ и сменим знак неравенства, чтобы коэффициент при $x$ в числителе был положительным: $\frac{-(x-6)}{x-4} \le 0 \implies \frac{x-6}{x-4} \ge 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=6$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=4$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x-6}{x-4}$ на интервалах:
- при $x > 6$ (например, $x=7$), $\frac{7-6}{7-4} > 0$. Знак "+".
- при $4 < x < 6$ (например, $x=5$), $\frac{5-6}{5-4} < 0$. Знак "-".
- при $x < 4$ (например, $x=0$), $\frac{0-6}{0-4} > 0$. Знак "+".
Поскольку мы решаем неравенство $\ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Точка $x=6$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup [6, \infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{2x-4}{3x+3} \le 0$.
Вынесем общие множители: $\frac{2(x-2)}{3(x+1)} \le 0$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, можем сократить на этот множитель, не меняя знака неравенства: $\frac{x-2}{x+1} \le 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=-1$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x-2}{x+1}$ на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$), $\frac{3-2}{3+1} > 0$. Знак "+".
- при $-1 < x < 2$ (например, $x=0$), $\frac{0-2}{0+1} < 0$. Знак "-".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$), $\frac{-2-2}{-2+1} > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $\le 0$, выбираем интервал со знаком "-". Точка $x=2$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-1, 2]$.

e) Решим неравенство $\frac{5x-1}{2x+3} \ge 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$.
Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{1}{5}$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=-\frac{3}{2}$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения на интервалах:
- при $x > \frac{1}{5}$ (например, $x=1$), $\frac{5(1)-1}{2(1)+3} = \frac{4}{5} > 0$. Знак "+".
- при $-\frac{3}{2} < x < \frac{1}{5}$ (например, $x=0$), $\frac{5(0)-1}{2(0)+3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак "-".
- при $x < -\frac{3}{2}$ (например, $x=-2$), $\frac{5(-2)-1}{2(-2)+3} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $\ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Точка $x=\frac{1}{5}$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$.

357. Решите неравенство:

а) Чтобы решить неравенство $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$, перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю.
$\frac{6x + 2}{x + 4} - 5 < 0$
$\frac{6x + 2 - 5(x + 4)}{x + 4} < 0$
$\frac{6x + 2 - 5x - 20}{x + 4} < 0$
$\frac{x - 18}{x + 4} < 0$
Далее решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $x - 18 = 0 \Rightarrow x = 18$.
Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
Отметим эти точки (-4 и 18) на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 18)$ и $(18, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x - 18}{x + 4}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -4)$, возьмем $x = -5$: $\frac{-5 - 18}{-5 + 4} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$.
- В интервале $(-4, 18)$, возьмем $x = 0$: $\frac{0 - 18}{0 + 4} = -\frac{18}{4} < 0$.
- В интервале $(18, \infty)$, возьмем $x = 20$: $\frac{20 - 18}{20 + 4} = \frac{2}{24} > 0$.
Поскольку нам нужно найти, где выражение меньше нуля, решением является интервал, где дробь отрицательна.
Ответ: $x \in (-4; 18)$.

б) Решим неравенство $\frac{5x + 8}{x} > 1$. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.
$\frac{5x + 8}{x} - 1 > 0$
$\frac{5x + 8 - x}{x} > 0$
$\frac{4x + 8}{x} > 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $4x + 8 = 0 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки -2 и 0 на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{4x + 8}{x}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -2)$, возьмем $x = -3$: $\frac{4(-3) + 8}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0$.
- В интервале $(-2, 0)$, возьмем $x = -1$: $\frac{4(-1) + 8}{-1} = \frac{4}{-1} < 0$.
- В интервале $(0, \infty)$, возьмем $x = 1$: $\frac{4(1) + 8}{1} = 12 > 0$.
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это происходит в двух интервалах.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$. Перенесем 1 в левую часть.
$\frac{3 - 2x}{3x + 2} - 1 \le 0$
$\frac{3 - 2x - (3x + 2)}{3x + 2} \le 0$
$\frac{3 - 2x - 3x - 2}{3x + 2} \le 0$
$\frac{1 - 5x}{3x + 2} \le 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
Нуль знаменателя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x = \frac{1}{5}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x = -\frac{2}{3}$ выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{5}, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{1 - 5x}{3x + 2}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -\frac{2}{3})$, возьмем $x = -1$: $\frac{1 - 5(-1)}{3(-1) + 2} = \frac{6}{-1} < 0$.
- В интервале $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5})$, возьмем $x = 0$: $\frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2} > 0$.
- В интервале $(\frac{1}{5}, \infty)$, возьмем $x = 1$: $\frac{1 - 5(1)}{3(1) + 2} = \frac{-4}{5} < 0$.
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup [\frac{1}{5}; \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$. Перенесем 15 в левую часть.
$\frac{5x - 4}{x + 8} - 15 \ge 0$
$\frac{5x - 4 - 15(x + 8)}{x + 8} \ge 0$
$\frac{5x - 4 - 15x - 120}{x + 8} \ge 0$
$\frac{-10x - 124}{x + 8} \ge 0$
Чтобы упростить, умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный.
$\frac{10x + 124}{x + 8} \le 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $10x + 124 = 0 \Rightarrow 10x = -124 \Rightarrow x = -12.4$.
Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x = -12.4$ закрашенная, $x = -8$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty, -12.4]$, $[-12.4, -8)$ и $(-8, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{10x + 124}{x + 8}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -12.4)$, возьмем $x = -13$: $\frac{10(-13) + 124}{-13 + 8} = \frac{-6}{-5} > 0$.
- В интервале $(-12.4, -8)$, возьмем $x = -10$: $\frac{10(-10) + 124}{-10 + 8} = \frac{24}{-2} < 0$.
- В интервале $(-8, \infty)$, возьмем $x = 0$: $\frac{124}{8} > 0$.
Нам нужно найти, где выражение $\frac{10x + 124}{x + 8}$ меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-12.4; -8)$.