Номер 340, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

340. Докажите, что при любом значении x верно неравенство:

а) Чтобы доказать неравенство $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7)$, преобразуем его.
Сначала раскроем скобки в левой и правой частях.
Левая часть: $2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$.
Правая часть: $(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$.
Теперь исходное неравенство можно записать в виде:
$2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 35$.
Перенесём все члены из правой части в левую с противоположным знаком:
$2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 2x + 35 > 0$.
Приведём подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2) + (-4x + 2x) + (-6 + 35) > 0$
$x^2 - 2x + 29 > 0$.
Чтобы доказать, что полученное неравенство верно для любого $x$, выделим в его левой части полный квадрат:
$x^2 - 2x + 29 = (x^2 - 2x + 1) + 28 = (x - 1)^2 + 28$.
Получаем неравенство: $(x - 1)^2 + 28 > 0$.
Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом числа и, следовательно, всегда больше или равно нулю при любом значении $x$: $(x - 1)^2 \ge 0$.
Тогда сумма $(x - 1)^2 + 28$ всегда будет больше или равна $0 + 28 = 28$.
Поскольку $28 > 0$, то неравенство $(x - 1)^2 + 28 > 0$ верно при любом значении $x$.
Следовательно, исходное неравенство также верно при любом $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4)$, преобразуем его.
Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$(x + 5)(x - 7) \le 4(x + 2)(x - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях.
Левая часть: $(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$.
Правая часть: $4(x + 2)(x - 4) = 4(x^2 - 4x + 2x - 8) = 4(x^2 - 2x - 8) = 4x^2 - 8x - 32$.
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32$.
Перенесём все члены из левой части в правую с противоположным знаком:
$0 \le 4x^2 - 8x - 32 - (x^2 - 2x - 35)$
$0 \le 4x^2 - 8x - 32 - x^2 + 2x + 35$.
Приведём подобные слагаемые:
$0 \le (4x^2 - x^2) + (-8x + 2x) + (-32 + 35)$
$0 \le 3x^2 - 6x + 3$.
Вынесем общий множитель 3 за скобку:
$0 \le 3(x^2 - 2x + 1)$.
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности:
$0 \le 3(x - 1)^2$.
Выражение $(x - 1)^2$ как квадрат числа всегда больше или равно нулю при любом значении $x$: $(x - 1)^2 \ge 0$.
При умножении на положительное число 3 результат также будет неотрицательным: $3(x - 1)^2 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $0 \le 3(x - 1)^2$ верно при любом значении $x$.
Следовательно, исходное неравенство также верно при любом $x$.
Ответ: Неравенство доказано.