Номер 333, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 333, страница 106.

Условие.

333. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через $\frac{1}{t}$:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2\frac{1}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \neq 0 $ и $ x^2 + 1 \neq 0 $. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными выражениями. Воспользуемся предложенной в условии заменой. Пусть $ t = \frac{x^2 + 1}{x} $, тогда второе слагаемое будет равно $ \frac{1}{t} $.

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. После подстановки уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Чтобы решить это уравнение относительно $t$, умножим обе его части на $2t$ (мы знаем, что $t \neq 0$, так как $x^2+1 \neq 0$):

$ 2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2} $

$ 2t^2 + 2 = 5t $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $

Корни для $t$ равны:

$ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

$ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $ t = 2 $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2 $

$ x^2 + 1 = 2x $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

Это уравнение является полным квадратом:

$ (x - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ x = 1 $. Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $ t = \frac{1}{2} $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} $

$ 2(x^2 + 1) = x $

$ 2x^2 - x + 2 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 $

Поскольку дискриминант отрицателен ($ \Delta < 0 $), у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} + \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\frac{1}{6} $.

ОДЗ: $ 3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} $ и $ x^2 + 2 \neq 0 $. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$. Значит, ОДЗ: $ x \neq \frac{2}{3} $.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену. Пусть $ t = \frac{x^2 + 2}{3x - 2} $, тогда $ \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = \frac{1}{t} $.

Преобразуем $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$. Уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $

Умножим обе части на $6t$ (где $t \neq 0$, так как $x^2+2 \neq 0$):

$ 6t^2 + 6 = 13t $

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $

Найдем дискриминант $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 $

Корни для $t$:

$ t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $ t = \frac{3}{2} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{3}{2} $

$ 2(x^2 + 2) = 3(3x - 2) $

$ 2x^2 + 4 = 9x - 6 $

$ 2x^2 - 9x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $.

Корни для $x$:

$ x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{2}{3} $).

Случай 2: $ t = \frac{2}{3} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{2}{3} $

$ 3(x^2 + 2) = 2(3x - 2) $

$ 3x^2 + 6 = 6x - 4 $

$ 3x^2 - 6x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ \Delta < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $2; 2.5$.