Номер 333, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 333, страница 106.

№333 (с. 106)
Условие. №333 (с. 106)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Условие

333. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через 1t:

Решить уравнение, обозначив одно из слагаемых
Решение 1. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 3 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 4
Решение 5. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333, Решение 5
Решение 7. №333 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 106, номер 333,  Решение 7
Решение 8. №333 (с. 106)

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2\frac{1}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \neq 0 $ и $ x^2 + 1 \neq 0 $. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными выражениями. Воспользуемся предложенной в условии заменой. Пусть $ t = \frac{x^2 + 1}{x} $, тогда второе слагаемое будет равно $ \frac{1}{t} $.

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. После подстановки уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Чтобы решить это уравнение относительно $t$, умножим обе его части на $2t$ (мы знаем, что $t \neq 0$, так как $x^2+1 \neq 0$):

$ 2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2} $

$ 2t^2 + 2 = 5t $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $

Корни для $t$ равны:

$ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

$ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $ t = 2 $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2 $

$ x^2 + 1 = 2x $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

Это уравнение является полным квадратом:

$ (x - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ x = 1 $. Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $ t = \frac{1}{2} $

$ \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} $

$ 2(x^2 + 1) = x $

$ 2x^2 - x + 2 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 $

Поскольку дискриминант отрицателен ($ \Delta < 0 $), у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} + \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\frac{1}{6} $.

ОДЗ: $ 3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} $ и $ x^2 + 2 \neq 0 $. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$. Значит, ОДЗ: $ x \neq \frac{2}{3} $.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену. Пусть $ t = \frac{x^2 + 2}{3x - 2} $, тогда $ \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = \frac{1}{t} $.

Преобразуем $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$. Уравнение принимает вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $

Умножим обе части на $6t$ (где $t \neq 0$, так как $x^2+2 \neq 0$):

$ 6t^2 + 6 = 13t $

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $

Найдем дискриминант $ \Delta = b^2 - 4ac $:

$ \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 $

Корни для $t$:

$ t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $ t = \frac{3}{2} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{3}{2} $

$ 2(x^2 + 2) = 3(3x - 2) $

$ 2x^2 + 4 = 9x - 6 $

$ 2x^2 - 9x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $.

Корни для $x$:

$ x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{2}{3} $).

Случай 2: $ t = \frac{2}{3} $

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{2}{3} $

$ 3(x^2 + 2) = 2(3x - 2) $

$ 3x^2 + 6 = 6x - 4 $

$ 3x^2 - 6x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант: $ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ \Delta < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $2; 2.5$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 333 расположенного на странице 106 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №333 (с. 106), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.