Номер 333, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 333, страница 106.
№333 (с. 106)
Условие. №333 (с. 106)
скриншот условия

333. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через :

Решение 1. №333 (с. 106)



Решение 2. №333 (с. 106)


Решение 3. №333 (с. 106)


Решение 4. №333 (с. 106)

Решение 5. №333 (с. 106)

Решение 7. №333 (с. 106)

Решение 8. №333 (с. 106)
а)
Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2\frac{1}{2} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \neq 0 $ и $ x^2 + 1 \neq 0 $. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.
Заметим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными выражениями. Воспользуемся предложенной в условии заменой. Пусть $ t = \frac{x^2 + 1}{x} $, тогда второе слагаемое будет равно $ \frac{1}{t} $.
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. После подстановки уравнение принимает вид:
$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $
Чтобы решить это уравнение относительно $t$, умножим обе его части на $2t$ (мы знаем, что $t \neq 0$, так как $x^2+1 \neq 0$):
$ 2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2} $
$ 2t^2 + 2 = 5t $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $ \Delta = b^2 - 4ac $:
$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $
Корни для $t$ равны:
$ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $
$ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.
Случай 1: $ t = 2 $
$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2 $
$ x^2 + 1 = 2x $
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
Это уравнение является полным квадратом:
$ (x - 1)^2 = 0 $
Отсюда $ x = 1 $. Этот корень входит в ОДЗ.
Случай 2: $ t = \frac{1}{2} $
$ \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} $
$ 2(x^2 + 1) = x $
$ 2x^2 - x + 2 = 0 $
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 $
Поскольку дискриминант отрицателен ($ \Delta < 0 $), у этого уравнения нет действительных корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $1$.
б)
Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} + \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\frac{1}{6} $.
ОДЗ: $ 3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} $ и $ x^2 + 2 \neq 0 $. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$. Значит, ОДЗ: $ x \neq \frac{2}{3} $.
Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену. Пусть $ t = \frac{x^2 + 2}{3x - 2} $, тогда $ \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = \frac{1}{t} $.
Преобразуем $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$. Уравнение принимает вид:
$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $
Умножим обе части на $6t$ (где $t \neq 0$, так как $x^2+2 \neq 0$):
$ 6t^2 + 6 = 13t $
Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $
Найдем дискриминант $ \Delta = b^2 - 4ac $:
$ \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 $
Корни для $t$:
$ t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $
$ t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t = \frac{3}{2} $
$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{3}{2} $
$ 2(x^2 + 2) = 3(3x - 2) $
$ 2x^2 + 4 = 9x - 6 $
$ 2x^2 - 9x + 10 = 0 $
Найдем дискриминант: $ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $.
Корни для $x$:
$ x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $
$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{2}{3} $).
Случай 2: $ t = \frac{2}{3} $
$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{2}{3} $
$ 3(x^2 + 2) = 2(3x - 2) $
$ 3x^2 + 6 = 6x - 4 $
$ 3x^2 - 6x + 10 = 0 $
Найдем дискриминант: $ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 $.
Так как $ \Delta < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $2; 2.5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 333 расположенного на странице 106 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №333 (с. 106), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.