Номер 326, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

326. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 20x^2 + 64$

Это биквадратный трёхчлен. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда трёхчлен принимает вид квадратного трёхчлена:

$y^2 - 20y + 64$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $(y - 16)(y - 4)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 16)(x^2 - 4)$

Каждый из полученных множителей можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 - 4^2)(x^2 - 2^2) = (x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)$.

б) $x^4 - 17x^2 + 16$

Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратное уравнение $y^2 - 17y + 16 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни: $y_1 = 16$ и $y_2 = 1$.

Следовательно, разложение для $y$ имеет вид: $(y - 16)(y - 1)$.

Выполним обратную замену:

$(x^2 - 16)(x^2 - 1)$

Применяя формулу разности квадратов к каждому множителю, получаем:

$(x - 4)(x + 4)(x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$.

в) $x^4 - 5x^2 - 36$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $y^2 - 5y - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$

$y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$

Разложение для $y$: $(y - 9)(y - (-4)) = (y - 9)(y + 4)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 9)(x^2 + 4)$

Первый множитель является разностью квадратов, а второй — суммой квадратов, которая не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

г) $x^4 - 3x^2 - 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $y^2 - 3y - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение -4. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Разложение для $y$: $(y - 4)(y - (-1)) = (y - 4)(y + 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$

Раскладываем первый множитель как разность квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

д) $9x^4 - 10x^2 + 1$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $9y^2 - 10y + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Разложение по формуле $a(y-y_1)(y-y_2)$: $9(y - 1)(y - \frac{1}{9})$.

Внесём множитель 9 во вторую скобку: $(y - 1)(9y - 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 1)(9x^2 - 1)$

Оба множителя являются разностью квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

е) $4x^4 - 17x^2 + 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $4y^2 - 17y + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Разложение: $4(y - 4)(y - \frac{1}{4})$.

Внесём множитель 4 во вторую скобку: $(y - 4)(4y - 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 4)(4x^2 - 1)$

Оба множителя являются разностью квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.