Номер 323, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

323. Решите уравнение:

а) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем члены с коэффициентом 2 и остальные члены:

$(2x^7 + 2x^4 + 2x) + (x^6 + x^3 + 1) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x^6 + x^3 + 1) + 1 \cdot (x^6 + x^3 + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $2x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим $x$:

$2x = -1$

$x = -1/2$

2) $x^6 + x^3 + 1 = 0$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 + y + 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что и уравнение $x^6 + x^3 + 1 = 0$ также не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1/2$.

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0$

Для решения этого уравнения также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$:

$(x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 2 = 0$

Отсюда получаем первый корень:

$x = 2$

2) $x^6 + 2x^3 + 1 = 0$

Выражение в левой части этого уравнения представляет собой полный квадрат. Его можно записать в виде:

$(x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = 0$

Что эквивалентно:

$(x^3 + 1)^2 = 0$

Это уравнение выполняется, только если выражение в скобках равно нулю:

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

Извлекая кубический корень, находим второй действительный корень:

$x = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 2$.