Номер 321, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 321, страница 105.

Условие.

321. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Данное уравнение: $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$.
Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 5t = 24$
$t^2 - 5t - 24 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-24$. Следовательно, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1) При $t = 8$:
$x^2 + 6x = 8$
$x^2 + 6x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.
2) При $t = -3$:
$x^2 + 6x = -3$
$x^2 + 6x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $-3 \pm \sqrt{17}; -3 \pm \sqrt{6}$.

б) Данное уравнение: $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3$.
Введем замену: пусть $t = x^2 - 2x - 5$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 2t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение $-3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 3$:
$x^2 - 2x - 5 = 3$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
2) При $t = -1$:
$x^2 - 2x - 5 = -1$
$x^2 - 2x - 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $-2; 4; 1 \pm \sqrt{5}$.

в) Данное уравнение: $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7$.
Пусть $t = x^2 + 3x - 25$. Тогда получим уравнение:
$t^2 - 2t = -7$
$t^2 - 2t + 7 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение относительно $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) Данное уравнение: $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12$.
Введем замену: пусть $t = (y + 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - t = 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-12$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим $t_1 = 4$:
$(y + 2)^2 = 4$
$y + 2 = \pm\sqrt{4}$
$y + 2 = \pm 2$
Отсюда получаем два решения:
1) $y + 2 = 2 \Rightarrow y_1 = 0$.
2) $y + 2 = -2 \Rightarrow y_2 = -4$.

Ответ: $-4; 0$.

д) Данное уравнение: $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3$.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$t(t + 2) = 3$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 1$:
$x^2 + 2x = 1$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
2) При $t = -3$:
$x^2 + 2x = -3$
$x^2 + 2x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}$.

е) Данное уравнение: $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88$.
Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид:
$(t - 16)(t + 2) = 88$
$t^2 + 2t - 16t - 32 = 88$
$t^2 - 14t - 120 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$.
Корни для $t$: $t = \frac{14 \pm 26}{2}$.
$t_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20$, $t_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 20$:
$x^2 - x = 20$
$x^2 - x - 20 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
2) При $t = -6$:
$x^2 - x = -6$
$x^2 - x + 6 = 0$
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-4; 5$.

ж) Данное уравнение: $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0$.
Пусть $t = 2x^2 + 7x$. Уравнение преобразуется к виду:
$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$
$t^2 - 3t - 8t + 24 - 6 = 0$
$t^2 - 11t + 18 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а произведение $18$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 9$:
$2x^2 + 7x = 9$
$2x^2 + 7x - 9 = 0$
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни: $x = \frac{-7 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{-7 + 11}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$.
2) При $t = 2$:
$2x^2 + 7x = 2$
$2x^2 + 7x - 2 = 0$
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65$.
Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

Ответ: $-4.5; 1; \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.