Номер 318, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 318, страница 104.

№318 (с. 104)
Условие. №318 (с. 104)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Условие

318. Решите уравнение:

а) x³ + 2x² + 3x + 2 = 0;

б) x³ + 4x² – 3x – 6 = 0.

Решение 1. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 3
Решение 4. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 4
Решение 5. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318, Решение 5
Решение 7. №318 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 318,  Решение 7
Решение 8. №318 (с. 104)

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$

Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (числа 2). Найдем все делители числа 2: $±1, ±2$.

Проверим подстановкой, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения:

  • При $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \neq 0$. Значит, $x = 1$ не является корнем.
  • При $x = -1$: $(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 \cdot 1 - 3 + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Поскольку мы нашли один корень $x_1 = -1$, мы можем разделить многочлен $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x + 1)$, чтобы понизить степень уравнения. Деление можно выполнить столбиком или по схеме Горнера.

Выполним деление по схеме Горнера:

 | 1 2 3 2 -1 | -1 -1 -2 -------------------- | 1 1 2 0 

В результате деления получили квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде произведения:

$(x + 1)(x^2 + x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + x + 2 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -6). Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

  • При $x = 1$: $1^3 + 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 4 - 3 - 6 = -4 \neq 0$.
  • При $x = -1$: $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.

Мы нашли один корень уравнения: $x_1 = -1$.

Теперь разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x + 1)$ с помощью схемы Горнера, чтобы найти остальные корни.

 | 1 4 -3 -6 -1 | -1 -3 6 --------------------- | 1 3 -6 0 

Результатом деления является многочлен $x^2 + 3x - 6$. Исходное уравнение эквивалентно следующему:

$(x + 1)(x^2 + 3x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + 3x - 6 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$

Дискриминант $D > 0$, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Таким образом, у исходного уравнения три действительных корня.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 318 расположенного на странице 104 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №318 (с. 104), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.