Номер 318, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 318, страница 104.
№318 (с. 104)
Условие. №318 (с. 104)
скриншот условия

318. Решите уравнение:
а) x³ + 2x² + 3x + 2 = 0;
б) x³ + 4x² – 3x – 6 = 0.
Решение 1. №318 (с. 104)


Решение 2. №318 (с. 104)


Решение 3. №318 (с. 104)

Решение 4. №318 (с. 104)

Решение 5. №318 (с. 104)

Решение 7. №318 (с. 104)

Решение 8. №318 (с. 104)
а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$
Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (числа 2). Найдем все делители числа 2: $±1, ±2$.
Проверим подстановкой, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения:
- При $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \neq 0$. Значит, $x = 1$ не является корнем.
- При $x = -1$: $(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 \cdot 1 - 3 + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем уравнения.
Поскольку мы нашли один корень $x_1 = -1$, мы можем разделить многочлен $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x + 1)$, чтобы понизить степень уравнения. Деление можно выполнить столбиком или по схеме Горнера.
Выполним деление по схеме Горнера:
| 1 2 3 2 -1 | -1 -1 -2 -------------------- | 1 1 2 0
В результате деления получили квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде произведения:
$(x + 1)(x^2 + x + 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:
1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
2) $x^2 + x + 2 = 0$
Решим второе, квадратное, уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.
Ответ: $x = -1$.
б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$
Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -6). Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
- При $x = 1$: $1^3 + 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 4 - 3 - 6 = -4 \neq 0$.
- При $x = -1$: $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.
Мы нашли один корень уравнения: $x_1 = -1$.
Теперь разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x + 1)$ с помощью схемы Горнера, чтобы найти остальные корни.
| 1 4 -3 -6 -1 | -1 -3 6 --------------------- | 1 3 -6 0
Результатом деления является многочлен $x^2 + 3x - 6$. Исходное уравнение эквивалентно следующему:
$(x + 1)(x^2 + 3x - 6) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
2) $x^2 + 3x - 6 = 0$
Решим второе, квадратное, уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$
Дискриминант $D > 0$, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$
Таким образом, у исходного уравнения три действительных корня.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 318 расположенного на странице 104 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №318 (с. 104), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.