Номер 318, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 318, страница 104.

Условие.

318. Решите уравнение:

а) x³ + 2x² + 3x + 2 = 0;

б) x³ + 4x² – 3x – 6 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$

Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (числа 2). Найдем все делители числа 2: $±1, ±2$.

Проверим подстановкой, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения:

• При $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \neq 0$. Значит, $x = 1$ не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 \cdot 1 - 3 + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Поскольку мы нашли один корень $x_1 = -1$, мы можем разделить многочлен $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x + 1)$, чтобы понизить степень уравнения. Деление можно выполнить столбиком или по схеме Горнера.

Выполним деление по схеме Горнера:

 | 1 2 3 2 -1 | -1 -1 -2 -------------------- | 1 1 2 0 

В результате деления получили квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде произведения:

$(x + 1)(x^2 + x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + x + 2 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -6). Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

• При $x = 1$: $1^3 + 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 6 = 1 + 4 - 3 - 6 = -4 \neq 0$.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.

Мы нашли один корень уравнения: $x_1 = -1$.

Теперь разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x + 1)$ с помощью схемы Горнера, чтобы найти остальные корни.

 | 1 4 -3 -6 -1 | -1 -3 6 --------------------- | 1 3 -6 0 

Результатом деления является многочлен $x^2 + 3x - 6$. Исходное уравнение эквивалентно следующему:

$(x + 1)(x^2 + 3x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2) $x^2 + 3x - 6 = 0$

Решим второе, квадратное, уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$

Дискриминант $D > 0$, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Таким образом, у исходного уравнения три действительных корня.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.