Номер 314, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

314. Найдите корень уравнения 40 +x + 2 = x² + 6x +x + 2. Если оно имеет два корня, то в ответе укажите меньший из них.

Дано уравнение: $40 + \sqrt{x+2} = x^2 + 6x + \sqrt{x+2}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться условие:

$x + 2 \ge 0$

Отсюда следует, что $x \ge -2$.

Теперь приступим к решению самого уравнения. В левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\sqrt{x+2}$. Мы можем вычесть его из обеих частей, при этом равносильность уравнения сохранится в пределах ОДЗ.

$40 + \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = x^2 + 6x + \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}$

После упрощения получаем квадратное уравнение:

$40 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Мы получили два потенциальных корня: $4$ и $-10$. Теперь необходимо проверить, принадлежат ли они области допустимых значений ($x \ge -2$).

1. Проверка корня $x_1 = 4$: $4 \ge -2$. Условие выполняется, следовательно, $x=4$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка корня $x_2 = -10$: $-10 \ge -2$. Условие не выполняется. Следовательно, $x=-10$ является посторонним корнем.

Таким образом, данное уравнение имеет только один корень: $x = 4$. Условие "Если оно имеет два корня, то в ответе укажите меньший из них" в данном случае не применяется, так как корень всего один.

Ответ: 4