Номер 309, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 309, страница 104.

№309 (с. 104)
Условие. №309 (с. 104)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Условие

309. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

Из уравнений выбрать то, которое имеет один и только один целый корень
Решение 1. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 2
Решение 3. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 3
Решение 4. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 4
Решение 5. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309, Решение 5
Решение 7. №309 (с. 104)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 104, номер 309,  Решение 7
Решение 8. №309 (с. 104)

Для того чтобы определить, какое из уравнений имеет один и только один целый корень, проанализируем каждое из них.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, если данное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 3. Делителями числа 3 являются $\pm1, \pm3$.
Проверим каждый из них подстановкой в уравнение:
При $x = 1$: $1^3 - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = -1$: $(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = 3$: $3^3 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27 \ne 0$.
При $x = -3$: $(-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21 \ne 0$.
Ни один из делителей не является корнем, следовательно, уравнение не имеет целых корней.
Ответ: Уравнение не имеет целых корней.

2. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y$ должен быть неотрицательным.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 5y + 4 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$.
$y_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
$y_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$.
Оба корня для $y$ отрицательные, что не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -4$ не имеют действительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет действительных (а значит, и целых) корней.

3. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + y - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$. (Проверка: $4 + (-5) = -1$, $4 \cdot (-5) = -20$).
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и отбрасывается.
Рассмотрим корень $y_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной: $x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня являются целыми числами.
Ответ: Уравнение имеет два целых корня.

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Снова воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни – это делители свободного члена 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим их:
При $x = 1$: $1^3 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$. Корень найден: $x = 1$.
Чтобы проверить, есть ли другие целые корни, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на $(x-1)$.
$(x^3 - 5x + 4) \div (x - 1) = x^2 + x - 4$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x - 1)(x^2 + x - 4) = 0$.
Один корень $x_1 = 1$ является целым.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Так как $D=17$ не является полным квадратом, корни $x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ являются иррациональными.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один целый корень.
Ответ: Уравнение имеет один и только один целый корень.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 309 расположенного на странице 104 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №309 (с. 104), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.