Номер 309, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 309, страница 104.

Условие.

309. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какое из уравнений имеет один и только один целый корень, проанализируем каждое из них.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, если данное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 3. Делителями числа 3 являются $\pm1, \pm3$.
Проверим каждый из них подстановкой в уравнение:
При $x = 1$: $1^3 - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = -1$: $(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x = 3$: $3^3 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27 \ne 0$.
При $x = -3$: $(-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21 \ne 0$.
Ни один из делителей не является корнем, следовательно, уравнение не имеет целых корней.
Ответ: Уравнение не имеет целых корней.

2. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y$ должен быть неотрицательным.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 5y + 4 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$.
$y_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
$y_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$.
Оба корня для $y$ отрицательные, что не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -4$ не имеют действительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет действительных (а значит, и целых) корней.

3. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + y - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$. (Проверка: $4 + (-5) = -1$, $4 \cdot (-5) = -20$).
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и отбрасывается.
Рассмотрим корень $y_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной: $x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня являются целыми числами.
Ответ: Уравнение имеет два целых корня.

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Снова воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни – это делители свободного члена 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим их:
При $x = 1$: $1^3 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$. Корень найден: $x = 1$.
Чтобы проверить, есть ли другие целые корни, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на $(x-1)$.
$(x^3 - 5x + 4) \div (x - 1) = x^2 + x - 4$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x - 1)(x^2 + x - 4) = 0$.
Один корень $x_1 = 1$ является целым.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Так как $D=17$ не является полным квадратом, корни $x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ являются иррациональными.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один целый корень.
Ответ: Уравнение имеет один и только один целый корень.