Номер 307, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

307. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Исходное уравнение: $(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$.

Заметим, что выражение во второй скобке связано с выражением в первой. Раскроем квадрат второго слагаемого: $(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Подставим это в уравнение:

$(x^2 + 8x)^2 - 4(x^2 + 8x + 16) = 256$.

Теперь очевидна замена переменной. Введем новую переменную $t = x^2 + 8x$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 4(t + 16) = 256$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t - 64 = 256$

$t^2 - 4t - 64 - 256 = 0$

$t^2 - 4t - 320 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-4) + 36}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

$t_2 = \frac{-(-4) - 36}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = 20$:

$x^2 + 8x = 20$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$x_1 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

2. При $t = -16$:

$x^2 + 8x = -16$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Это формула квадрата суммы: $(x + 4)^2 = 0$.

$x + 4 = 0$, откуда $x_3 = -4$.

Ответ: $-10; -4; 2$.

Исходное уравнение: $2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8$.

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x - 3)^2 = 4$.

Как и в предыдущем пункте, раскроем квадрат: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x^2 - 6x + 9) = 4$.

Введем новую переменную $t = x^2 - 6x$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 60(t + 9) = 4$

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 60t - 540 = 4$

$t^2 - 60t - 544 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-544) = 3600 + 2176 = 5776$.

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-60) + 76}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 76}{2} = \frac{136}{2} = 68$.

$t_2 = \frac{-(-60) - 76}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 76}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = 68$:

$x^2 - 6x = 68$

$x^2 - 6x - 68 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68) = 36 + 272 = 308$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{308} = \sqrt{4 \cdot 77} = 2\sqrt{77}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 2\sqrt{77}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{77}}{2} = 3 \pm \sqrt{77}$.

2. При $t = -8$:

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Следовательно, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.

Ответ: $3 - \sqrt{77}; 2; 4; 3 + \sqrt{77}$.