Номер 312, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 312, страница 104.

Условие.

312. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 8.

а) $(x^2 - 4x - 12)^2 + (x^2 - 10x + 24)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $(x^2 - 4x - 12)^2 \ge 0$ и $(x^2 - 10x + 24)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 = 0 \\ x^2 - 10x + 24 = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Корни первого уравнения: $6$ и $-2$.

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Корни второго уравнения: $6$ и $4$.

Решением системы является общий корень обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{-2, 6\}$ и $\{4, 6\}$, находим общий корень $x=6$.

Ответ: $6$.

б) $|x^2 + 15x + 50| + |x^2 + 7x + 10| = 0$

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $|x^2 + 15x + 50| \ge 0$ и $|x^2 + 7x + 10| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 15x + 50 = 0 \\ x^2 + 7x + 10 = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $x^2 + 15x + 50 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 5}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 5}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Корни первого уравнения: $-5$ и $-10$.

Решим второе уравнение системы: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Корни второго уравнения: $-2$ и $-5$.

Решением системы является общий корень обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{-10, -5\}$ и $\{-2, -5\}$, находим общий корень $x=-5$.

Ответ: $-5$.