Номер 306, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 306, страница 103.

Условие.

306. Решите уравнение:

а) 718x⁴ – 717x² – 1 = 0;

б) 206x⁴ – 205x² – 1 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно $t$:

$718t^2 - 717t - 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $a+b+c = 718 + (-717) + (-1) = 0$. В таком случае корнями уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{c}{a}$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-1}{718}$

Теперь необходимо проверить выполнение условия $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{718}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{718} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Теперь выполним обратную замену для подходящего корня $t=1$:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$

Ответ: $\pm 1$.

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$

Это уравнение также является биквадратным. Сделаем аналогичную замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$206t^2 - 205t - 1 = 0$

Как и в предыдущем случае, сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю: $a+b+c = 206 + (-205) + (-1) = 0$. Поэтому его корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{c}{a}$.

Находим корни для $t$:

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-1}{206}$

Проверяем корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -\frac{1}{206}$ не подходит, так как он отрицательный.

Выполним обратную замену, используя корень $t=1$:

$x^2 = 1$

Находим окончательные решения для $x$:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$

Ответ: $\pm 1$.