Номер 320, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 320, страница 105.

Условие.

320. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение x³ + ax + b = 0 при различных значениях a и b.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения количества решений уравнения $x^3 + ax + b = 0$ воспользуемся графическим методом. Количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 + ax + b$ с осью абсцисс (осью Ox).

Форма графика этой функции зависит от значения параметра $a$. Параметр $b$ отвечает за сдвиг графика по вертикали. Исследуем функцию $f(x) = x^3 + ax + b$ с помощью производной, чтобы найти её промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная функции: $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от знака параметра $a$.

Случай 1: $a \geq 0$

Если $a \geq 0$, то производная $f'(x) = 3x^2 + a$ всегда неотрицательна, так как $x^2 \geq 0$. Если $a>0$, то $f'(x)>0$ для любого $x$. Если $a=0$, то $f'(x) = 3x^2 \geq 0$, причём производная равна нулю только в одной точке $x=0$. В обоих подслучаях ($a > 0$ и $a = 0$) функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

График монотонно возрастающей функции может пересечь любую горизонтальную прямую (в частности, ось Ox) только в одной точке. Следовательно, при $a \geq 0$ уравнение $x^3 + ax + b = 0$ всегда имеет ровно одно решение при любом значении $b$.

Случай 2: $a < 0$

Если $a < 0$, то уравнение для нахождения критических точек $f'(x) = 0$ принимает вид $3x^2 + a = 0$, или $x^2 = -a/3$. Поскольку $a < 0$, то $-a/3 > 0$, и уравнение имеет два корня: $x_1 = -\sqrt{-a/3}$ и $x_2 = \sqrt{-a/3}$.

Это точки локального экстремума функции $f(x)$: в точке $x_1$ будет локальный максимум, а в точке $x_2$ — локальный минимум. Наличие двух экстремумов означает, что график функции имеет характерную "волну". Количество пересечений такого графика с осью Ox зависит от значений функции в точках экстремума, то есть от $y_{max} = f(x_1)$ и $y_{min} = f(x_2)$, которые, в свою очередь, зависят от параметра $b$ (так как он сдвигает весь график вверх или вниз).

Возможны три варианта:

- Одно решение: если оба экстремума (максимум и минимум) лежат по одну сторону от оси Ox. График пересекает ось Ox только один раз. Это происходит, когда произведение значений в экстремумах $y_{max} \cdot y_{min} > 0$.

- Два решения: если один из экстремумов лежит на оси Ox. В этом случае график касается оси Ox в точке экстремума и пересекает ее в другой точке. Это происходит, когда $y_{max} \cdot y_{min} = 0$.

- Три решения: если экстремумы лежат по разные стороны от оси Ox. В этом случае график пересекает ось Ox в трех различных точках. Это происходит, когда $y_{max} \cdot y_{min} < 0$.

Условия на параметры $a$ и $b$ можно выразить через знак выражения $4a^3 + 27b^2$. Количество решений равно одному, двум или трем, когда это выражение соответственно больше нуля, равно нулю или меньше нуля.

Таким образом, при $a<0$ количество решений может быть равно одному, двум или трем.

Ответ:
Уравнение $x^3 + ax + b = 0$ может иметь:
- одно действительное решение (например, при $a \ge 0$);
- два действительных решения (когда график касается оси Ox, например, для $x^3 - 3x + 2 = 0$);
- три действительных решения (когда график пересекает ось Ox в трех точках, например, для $x^3 - 3x = 0$).
Следовательно, в зависимости от значений параметров $a$ и $b$, уравнение может иметь одно, два или три решения.