Номер 322, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

322. Решите уравнение:

а) y⁷ – y⁶ + y = 1;

б) y⁷ + y⁶ – 27y = 27.

а) $y^7 - y^6 + y = 1$

Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$y^7 - y^6 + y - 1 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^7 - y^6) + (y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^6$:

$y^6(y - 1) + 1(y - 1) = 0$

Теперь можно вынести за скобку общий для обоих слагаемых множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y^6 + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $y - 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = 1$.

2. $y^6 + 1 = 0$

$y^6 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в шестую), является неотрицательным числом, то есть $y^6 \geq 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $y=1$.

б) $y^7 + y^6 - 27y = 27$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0$

Используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(y^7 + y^6) - (27y + 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой — $y^6$, из второй — 27:

$y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$(y + 1)(y^6 - 27) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $y + 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = -1$.

2. $y^6 - 27 = 0$

$y^6 = 27$

Чтобы найти $y$, извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня четная, мы получим два действительных решения:

$y = \pm\sqrt[6]{27}$

Упростим выражение $\sqrt[6]{27}$. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать:

$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^\frac{3}{6} = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3}$

Таким образом, мы получаем еще два корня: $y = \sqrt{3}$ и $y = -\sqrt{3}$.

В итоге, у данного уравнения три действительных корня.

Ответ: $y_1 = -1, y_2 = -\sqrt{3}, y_3 = \sqrt{3}$.