Номер 325, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 325, страница 105.

Условие.

325. Является ли число:

а) 3 + 5 корнем биквадратного уравнения x⁴ – 6x² + 3 = 0;

б) 5 - 2 корнем биквадратного уравнения x⁴ – 10x² + 23 = 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$, нужно подставить это значение в уравнение и проверить, обратится ли оно в верное равенство.

Сначала найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа:

$x^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$x^4 = (x^2)^2 = (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь подставим найденные значения $x^2$ и $x^4$ в левую часть уравнения:

$x^4 - 6x^2 + 3 = (14 + 6\sqrt{5}) - 6(3 + \sqrt{5}) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$14 + 6\sqrt{5} - 18 - 6\sqrt{5} + 3 = (14 - 18 + 3) + (6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = -1 + 0 = -1$

В результате подстановки мы получили -1, а не 0. Так как $-1 \neq 0$, равенство не выполняется.

Ответ: нет, число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не является корнем уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$.

б)

Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$, выполним аналогичную подстановку.

Найдем значения $x^2$ и $x^4$:

$x^2 = (\sqrt{5 - \sqrt{2}})^2 = 5 - \sqrt{2}$

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в левую часть уравнения:

$x^4 - 10x^2 + 23 = (27 - 10\sqrt{2}) - 10(5 - \sqrt{2}) + 23$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$27 - 10\sqrt{2} - 50 + 10\sqrt{2} + 23 = (27 - 50 + 23) + (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

В результате подстановки мы получили 0, что соответствует правой части уравнения. Равенство $0=0$ является верным.

Ответ: да, число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$.