Номер 331, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 331, страница 106.

Условие.

331. Решите уравнение

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение:$$ \frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1} $$

Для решения уравнения сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби:$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$.

Знаменатель второй дроби:$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$.

Знаменатель правой части уравнения:$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Общий знаменатель всех дробей — это $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием неравенства знаменателя нулю:$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0$.Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, то условия сводятся к $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$.Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь перепишем уравнение, используя разложенные на множители знаменатели:$$ \frac{1}{(x - 1)(x^2 + 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} $$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ:$$ 1 \cdot (x + 1) + (4x^2 + 21) \cdot (x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Раскроем скобки в левой части:$$ x + 1 + 4x^3 - 4x^2 + 21x - 21 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:$$ 4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:$$ (4x^3 - 4x^3) + (-4x^2 + 3x^2) + (22x - 14x) + (-20 + 4) = 0 $$$$ -x^2 + 8x - 16 = 0 $$

Умножим уравнение на -1:$$ x^2 - 8x + 16 = 0 $$

Левая часть является полным квадратом разности:$$ (x - 4)^2 = 0 $$

Отсюда получаем единственный корень:$$ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 $$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).Корень $x = 4$ не совпадает с запрещенными значениями, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Ответ: $4$.