Номер 334, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 334, страница 106.
№334 (с. 106)
Условие. №334 (с. 106)
скриншот условия

334. Решите уравнение, используя подстановку y = x²:

Решение 1. №334 (с. 106)


Решение 2. №334 (с. 106)


Решение 3. №334 (с. 106)


Решение 4. №334 (с. 106)

Решение 5. №334 (с. 106)

Решение 7. №334 (с. 106)

Решение 8. №334 (с. 106)
a)
Дано уравнение: $\frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$x^2 - 2 \neq 0 \implies x^2 \neq 2 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$.
Заметим, что знаменатель второй дроби $2 - x^2 = -(x^2 - 2)$. Преобразуем уравнение:
$\frac{x^4}{x^2 - 2} - \frac{1 - 4x^2}{x^2 - 2} + 4 = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x^4 - (1 - 4x^2)}{x^2 - 2} + 4 = 0$
$\frac{x^4 + 4x^2 - 1}{x^2 - 2} + 4 = 0$
Введем замену, как указано в условии: $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 2$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{y^2 + 4y - 1}{y - 2} + 4 = 0$
Приведем все к общему знаменателю $y - 2$:
$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4(y - 2)}{y - 2} = 0$
$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4y - 8}{y - 2} = 0$
$\frac{y^2 + 8y - 9}{y - 2} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение:
$y^2 + 8y - 9 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -9$.
Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 2$.
$y_1 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполнено, условие $1 \neq 2$ выполнено. Этот корень подходит.
$y_2 = -9$: условие $-9 \ge 0$ не выполнено. Этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для $y = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm\sqrt{2}$).
Ответ: $x = \pm 1$.
б)
Дано уравнение: $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0$.
Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x^2 + 1 \neq 0$ (выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$)
$x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $x^4 - 3x^2 - 4$. Сделаем замену $t=x^2$ для разложения на множители: $t^2 - 3t - 4$. Корни этого квадратного трехчлена $t_1=4, t_2=-1$. Таким образом, $t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)$. Возвращаясь к $x$, получаем $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$.
Следовательно, условие $x^4 - 3x^2 - 4 \neq 0$ сводится к уже рассмотренным $x^2 - 4 \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$.
Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.
Введем замену $y = x^2$. Условия для $y$: $y \ge 0$ и из ОДЗ $y \neq 4$.
Подставим $y$ в уравнение и разложим третий знаменатель на множители:
$\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y + 1)(y - 4)} = 0$
Общий знаменатель: $(y + 1)(y - 4)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $y \neq -1$ и $y \neq 4$.
$(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0$
$y^2 + y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y + 1) = 0$
Получаем два корня для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 4$.
$y_1 = 0$: условие $0 \ge 0$ выполнено, $0 \neq 4$ выполнено. Корень подходит.
$y_2 = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполнено. Это посторонний корень. (Также он не удовлетворяет условию $y \neq -1$, при котором мы умножали на знаменатель).
Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 0$:
$x^2 = 0$
$x = 0$
Проверим корень по ОДЗ: $0 \neq \pm 2$. Корень подходит.
Ответ: $x = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 334 расположенного на странице 106 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №334 (с. 106), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.