Номер 334, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 334, страница 106.

Условие.

334. Решите уравнение, используя подстановку y = x²:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

a)

Дано уравнение: $\frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x^2 - 2 \neq 0 \implies x^2 \neq 2 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $2 - x^2 = -(x^2 - 2)$. Преобразуем уравнение:

$\frac{x^4}{x^2 - 2} - \frac{1 - 4x^2}{x^2 - 2} + 4 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^4 - (1 - 4x^2)}{x^2 - 2} + 4 = 0$

$\frac{x^4 + 4x^2 - 1}{x^2 - 2} + 4 = 0$

Введем замену, как указано в условии: $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 2$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y^2 + 4y - 1}{y - 2} + 4 = 0$

Приведем все к общему знаменателю $y - 2$:

$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4(y - 2)}{y - 2} = 0$

$\frac{y^2 + 4y - 1 + 4y - 8}{y - 2} = 0$

$\frac{y^2 + 8y - 9}{y - 2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 2$.

$y_1 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполнено, условие $1 \neq 2$ выполнено. Этот корень подходит.

$y_2 = -9$: условие $-9 \ge 0$ не выполнено. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 1$:

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm\sqrt{2}$).

Ответ: $x = \pm 1$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2 + 1 \neq 0$ (выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$)

$x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $x^4 - 3x^2 - 4$. Сделаем замену $t=x^2$ для разложения на множители: $t^2 - 3t - 4$. Корни этого квадратного трехчлена $t_1=4, t_2=-1$. Таким образом, $t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)$. Возвращаясь к $x$, получаем $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

Следовательно, условие $x^4 - 3x^2 - 4 \neq 0$ сводится к уже рассмотренным $x^2 - 4 \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Введем замену $y = x^2$. Условия для $y$: $y \ge 0$ и из ОДЗ $y \neq 4$.

Подставим $y$ в уравнение и разложим третий знаменатель на множители:

$\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y + 1)(y - 4)} = 0$

Общий знаменатель: $(y + 1)(y - 4)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $y \neq -1$ и $y \neq 4$.

$(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0$

$y^2 + y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y + 1) = 0$

Получаем два корня для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 4$.

$y_1 = 0$: условие $0 \ge 0$ выполнено, $0 \neq 4$ выполнено. Корень подходит.

$y_2 = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполнено. Это посторонний корень. (Также он не удовлетворяет условию $y \neq -1$, при котором мы умножали на знаменатель).

Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 0$:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ: $0 \neq \pm 2$. Корень подходит.

Ответ: $x = 0$.