Номер 335, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 335, страница 106.

Условие.

335. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходное уравнение: $ (\frac{x+1}{x-2})^2 - 16(\frac{x-2}{x+1})^2 = 15 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $

$ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $

2. Заметим, что дроби в уравнении являются взаимно обратными. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $ y = (\frac{x+1}{x-2})^2 $.

Тогда $ (\frac{x-2}{x+1})^2 = \frac{1}{(\frac{x+1}{x-2})^2} = \frac{1}{y} $.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$ y - \frac{16}{y} = 15 $

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Так как $y$ представляет собой квадрат выражения, то $y \ge 0$. Также $y \neq 0$, поскольку для этого потребовалось бы $x+1=0$, что исключено из ОДЗ.

Умножим обе части уравнения на $y$:

$ y^2 - 16 = 15y $

$ y^2 - 15y - 16 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

4. Проверим найденные значения $y$. Так как $y$ - это квадрат, то $y$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $ y_2 = -1 $ не является решением. Остается только $ y_1 = 16 $.

5. Вернемся к исходной переменной $x$:

$ (\frac{x+1}{x-2})^2 = 16 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $ или $ \frac{x+1}{x-2} = -4 $

6. Решим каждое из двух полученных уравнений:

Случай 1:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $

$ x+1 = 4(x-2) $

$ x+1 = 4x - 8 $

$ 3x = 9 $

$ x = 3 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).

Случай 2:

$ \frac{x+1}{x-2} = -4 $

$ x+1 = -4(x-2) $

$ x+1 = -4x + 8 $

$ 5x = 7 $

$ x = \frac{7}{5} $ или $ x = 1.4 $

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).

Ответ: $3; \frac{7}{5}$.

б)

Исходное уравнение: $ (\frac{x+3}{x-5})^2 - 9(\frac{x-5}{x+3})^2 = 8 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $

$ x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $

2. Аналогично предыдущему пункту, введем замену переменной. Пусть $ y = (\frac{x+3}{x-5})^2 $.

Тогда $ (\frac{x-5}{x+3})^2 = \frac{1}{y} $.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ y - \frac{9}{y} = 8 $

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Условие $y \ge 0$ и $y \neq 0$ сохраняется.

Умножим обе части уравнения на $y$:

$ y^2 - 9 = 8y $

$ y^2 - 8y - 9 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения:

$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

4. Корень $ y_2 = -1 $ не подходит, так как квадрат не может быть отрицательным. Остается $ y_1 = 9 $.

5. Вернемся к переменной $x$:

$ (\frac{x+3}{x-5})^2 = 9 $

Извлечем квадратный корень:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $ или $ \frac{x+3}{x-5} = -3 $

6. Решим каждое из двух уравнений:

Случай 1:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $

$ x+3 = 3(x-5) $

$ x+3 = 3x - 15 $

$ 2x = 18 $

$ x = 9 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).

Случай 2:

$ \frac{x+3}{x-5} = -3 $

$ x+3 = -3(x-5) $

$ x+3 = -3x + 15 $

$ 4x = 12 $

$ x = 3 $

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).

Ответ: $3; 9$.