Номер 335, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 335, страница 106.
№335 (с. 106)
Условие. №335 (с. 106)
скриншот условия

335. Решите уравнение:

Решение 1. №335 (с. 106)


Решение 2. №335 (с. 106)


Решение 3. №335 (с. 106)


Решение 4. №335 (с. 106)

Решение 5. №335 (с. 106)

Решение 7. №335 (с. 106)

Решение 8. №335 (с. 106)
а)
Исходное уравнение: $ (\frac{x+1}{x-2})^2 - 16(\frac{x-2}{x+1})^2 = 15 $
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $
2. Заметим, что дроби в уравнении являются взаимно обратными. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $ y = (\frac{x+1}{x-2})^2 $.
Тогда $ (\frac{x-2}{x+1})^2 = \frac{1}{(\frac{x+1}{x-2})^2} = \frac{1}{y} $.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$ y - \frac{16}{y} = 15 $
3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Так как $y$ представляет собой квадрат выражения, то $y \ge 0$. Также $y \neq 0$, поскольку для этого потребовалось бы $x+1=0$, что исключено из ОДЗ.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$ y^2 - 16 = 15y $
$ y^2 - 15y - 16 = 0 $
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $
$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
4. Проверим найденные значения $y$. Так как $y$ - это квадрат, то $y$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $ y_2 = -1 $ не является решением. Остается только $ y_1 = 16 $.
5. Вернемся к исходной переменной $x$:
$ (\frac{x+1}{x-2})^2 = 16 $
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $ или $ \frac{x+1}{x-2} = -4 $
6. Решим каждое из двух полученных уравнений:
Случай 1:
$ \frac{x+1}{x-2} = 4 $
$ x+1 = 4(x-2) $
$ x+1 = 4x - 8 $
$ 3x = 9 $
$ x = 3 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).
Случай 2:
$ \frac{x+1}{x-2} = -4 $
$ x+1 = -4(x-2) $
$ x+1 = -4x + 8 $
$ 5x = 7 $
$ x = \frac{7}{5} $ или $ x = 1.4 $
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -1 $).
Ответ: $3; \frac{7}{5}$.
б)
Исходное уравнение: $ (\frac{x+3}{x-5})^2 - 9(\frac{x-5}{x+3})^2 = 8 $
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $
$ x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $
2. Аналогично предыдущему пункту, введем замену переменной. Пусть $ y = (\frac{x+3}{x-5})^2 $.
Тогда $ (\frac{x-5}{x+3})^2 = \frac{1}{y} $.
Подставим новую переменную в уравнение:
$ y - \frac{9}{y} = 8 $
3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Условие $y \ge 0$ и $y \neq 0$ сохраняется.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$ y^2 - 9 = 8y $
$ y^2 - 8y - 9 = 0 $
Найдем корни квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $
$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
4. Корень $ y_2 = -1 $ не подходит, так как квадрат не может быть отрицательным. Остается $ y_1 = 9 $.
5. Вернемся к переменной $x$:
$ (\frac{x+3}{x-5})^2 = 9 $
Извлечем квадратный корень:
$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $ или $ \frac{x+3}{x-5} = -3 $
6. Решим каждое из двух уравнений:
Случай 1:
$ \frac{x+3}{x-5} = 3 $
$ x+3 = 3(x-5) $
$ x+3 = 3x - 15 $
$ 2x = 18 $
$ x = 9 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).
Случай 2:
$ \frac{x+3}{x-5} = -3 $
$ x+3 = -3(x-5) $
$ x+3 = -3x + 15 $
$ 4x = 12 $
$ x = 3 $
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -3 $).
Ответ: $3; 9$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 335 расположенного на странице 106 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №335 (с. 106), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.