Номер 338, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

338. Решите уравнение:

а) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22(x + \frac{1}{x})$

Данное уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Введем новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^3 + \frac{1}{x^3}$ через $t$, возведем замену в куб:

$t^3 = (x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$t^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x})$

Так как $x + \frac{1}{x} = t$, получаем $t^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3t$. Отсюда выражаем $x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$t^3 - 3t = 22t$

Решим уравнение относительно $t$:

$t^3 - 3t - 22t = 0$

$t^3 - 25t = 0$

$t(t^2 - 25) = 0$

$t(t-5)(t+5) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 5$, $t_3 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t=0$: $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

2. При $t=5$: $x + \frac{1}{x} = 5$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = 5x$, или $x^2 - 5x + 1 = 0$. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$. Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

3. При $t=-5$: $x + \frac{1}{x} = -5$. Умножим обе части на $x$: $x^2 + 1 = -5x$, или $x^2 + 5x + 1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$. Корни: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, x_4 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$.

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19(x - \frac{1}{x})$

Это уравнение также решается с помощью замены. Заметим, что $x \neq 0$. Введем новую переменную $y = x - \frac{1}{x}$.

Возведем замену в куб, чтобы выразить $x^3 - \frac{1}{x^3}$ через $y$:

$y^3 = (x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot (\frac{1}{x})^2 - (\frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$

$y^3 = (x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x})$

Так как $x - \frac{1}{x} = y$, получаем $y^3 = (x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3y$. Отсюда $x^3 - \frac{1}{x^3} = y^3 + 3y$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$y^3 + 3y = 19y$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^3 + 3y - 19y = 0$

$y^3 - 16y = 0$

$y(y^2 - 16) = 0$

$y(y-4)(y+4) = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 0$, $y_2 = 4$, $y_3 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. При $y=0$: $x - \frac{1}{x} = 0$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2=1$, то есть $x = \pm 1$.

2. При $y=4$: $x - \frac{1}{x} = 4$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = 4x$, или $x^2 - 4x - 1 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

3. При $y=-4$: $x - \frac{1}{x} = -4$. Умножим обе части на $x$: $x^2 - 1 = -4x$, или $x^2 + 4x - 1 = 0$. $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $1, -1, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$.