Номер 332, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

332. Найдите корни уравнения:

а) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$4x - 7 \neq 0$

$4x \neq 7$

$x \neq \frac{7}{4}$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель $(4x - 7)$, так как мы уже учли, что он не равен нулю:

$x^2(4x - 7) = 7x - 4$

Раскроем скобки:

$4x^3 - 7x^2 = 7x - 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$4x^3 - 7x^2 - 7x + 4 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Проверим один из возможных корней, например, $x = -1$:

$4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 4 = 4(-1) - 7(1) + 7 + 4 = -4 - 7 + 7 + 4 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $4x^3 - 7x^2 - 7x + 4$ делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление многочленов, чтобы найти второй множитель:

$(4x^3 - 7x^2 - 7x + 4) : (x + 1) = 4x^2 - 11x + 4$

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(x + 1)(4x^2 - 11x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $4x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение, с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{8}$

Таким образом, мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$, $x_3 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{7}{4}$).

Ответ: $-1, \frac{11 - \sqrt{57}}{8}, \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$.

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$3x - 5 \neq 0$

$3x \neq 5$

$x \neq \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x - 5)$:

$x^2(3x - 5) = 5x - 3$

$3x^3 - 5x^2 = 5x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^3 - 5x^2 - 5x + 3 = 0$

Найдем рациональные корни этого кубического уравнения. Проверим $x = -1$:

$3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 3(-1) - 5(1) + 5 + 3 = -3 - 5 + 5 + 3 = 0$

Корень $x = -1$ подходит. Разделим многочлен $3x^3 - 5x^2 - 5x + 3$ на $(x+1)$:

$(3x^3 - 5x^2 - 5x + 3) : (x + 1) = 3x^2 - 8x + 3$

Уравнение принимает вид:

$(x + 1)(3x^2 - 8x + 3) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $3x^2 - 8x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28$

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{7})}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$, $x_3 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{5}{3}$).

Ответ: $-1, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$.