Номер 328, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 328, страница 105.

Условие.

328. При каких значениях x разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Согласно условию задачи, приравняем разность первой пары дробей к разности второй пары. Составим уравнение:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
$x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$
$x+20 \neq 0 \implies x \neq -20$

Упростим обе части уравнения, приведя дроби в каждой части к общему знаменателю.

Левая часть:
$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1 \cdot (x+4) - 1 \cdot (x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{x+4-x-2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+4)}$

Правая часть:
$\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20} = \frac{1 \cdot (x+20) - 1 \cdot (x+8)}{(x+8)(x+20)} = \frac{x+20-x-8}{(x+8)(x+20)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{(x+8)(x+20)}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot (x+8)(x+20) = 6 \cdot (x+2)(x+4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)$
$x^2 + 28x + 160 = 6(x^2 + 6x + 8)$
$x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$6x^2 - x^2 + 36x - 28x + 48 - 160 = 0$
$5x^2 + 8x - 112 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-112) = 64 + 2240 = 2304$

Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-8 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$
$x_2 = \frac{-8 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-56}{10} = -5.6$

Оба найденных значения $x=4$ и $x=-5.6$ не противоречат области допустимых значений. Следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -5.6$.