Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

287. Решите неравенство:

а) Для решения неравенства $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0$ воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём корни левой части неравенства, приравняв её к нулю:
$(x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$, $x_2 = 5$, $x_3 = 12$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$, $(5; 12)$ и $(12; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмём пробную точку из любого интервала. Удобнее всего взять точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$.
При $x = 13$: $(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = 11 \cdot 8 \cdot 1 > 0$.
Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:
$(12; +\infty)$: +
$(5; 12)$: -
$(2; 5)$: +
$(-\infty; 2)$: -
4. Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением являются интервалы $(2; 5)$ и $(12; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0$.
Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x = 5$.
При $x = 5$: $(5 + 7)(5 + 1)(5 - 4) = 12 \cdot 6 \cdot 1 > 0$.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Расставим знаки на интервалах:
$(4; +\infty)$: +
$(-1; 4)$: -
$(-7; -1)$: +
$(-\infty; -7)$: -
4. Знак неравенства "<", поэтому выбираем интервалы со знаком "-".
Решением являются интервалы $(-\infty; -7)$ и $(-1; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)$.

в) Решим неравенство $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 8$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x = 10$.
При $x = 10$: $10(10 + 1)(10 + 5)(10 - 8) = 10 \cdot 11 \cdot 15 \cdot 2 > 0$.
Все корни имеют кратность 1, знаки чередуются.
Расставим знаки на интервалах:
$(8; +\infty)$: +
$(0; 8)$: -
$(-1; 0)$: +
$(-5; -1)$: -
$(-\infty; -5)$: +
4. Знак неравенства ">", поэтому выбираем интервалы со знаком "+".
Решением являются интервалы $(-\infty; -5)$, $(-1; 0)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)$.

288. Найдите, при каких значениях x:

а) произведение (x + 48) (x – 37) (x – 42) положительно;

б) произведение (x + 0,7) (x – 2,8) (x – 9,2) отрицательно.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно, необходимо решить неравенство:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0$

Для решения этого неравенства применяется метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, то есть точки, в которых произведение обращается в ноль:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0$

Корнями являются значения $x$, при которых один из множителей равен нулю:

$x + 48 = 0 \Rightarrow x_1 = -48$

$x - 37 = 0 \Rightarrow x_2 = 37$

$x - 42 = 0 \Rightarrow x_3 = 42$

Эти точки ($-48, 37, 42$) разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -48)$, $(-48; 37)$, $(37; 42)$ и $(42; +\infty)$.

Далее определим знак произведения в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке:

1. В интервале $(42; +\infty)$ выберем $x=50$: $(50+48)(50-37)(50-42) = (98)(13)(8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Знак «+».

2. В интервале $(37; 42)$ выберем $x=40$: $(40+48)(40-37)(40-42) = (88)(3)(-2)$. Произведение отрицательно. Знак «-».

3. В интервале $(-48; 37)$ выберем $x=0$: $(0+48)(0-37)(0-42) = (48)(-37)(-42)$. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно. Знак «+».

4. В интервале $(-\infty; -48)$ выберем $x=-50$: $(-50+48)(-50-37)(-50-42) = (-2)(-87)(-92)$. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно. Знак «-».

По условию задачи, произведение должно быть положительным. Это соответствует интервалам, где мы получили знак «+».

Ответ: $x \in (-48; 37) \cup (42; +\infty)$

б) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)$ отрицательно, необходимо решить неравенство:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0$

Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) = 0$

Корнями являются:

$x + 0,7 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,7$

$x - 2,8 = 0 \Rightarrow x_2 = 2,8$

$x - 9,2 = 0 \Rightarrow x_3 = 9,2$

Эти точки ($-0,7; 2,8; 9,2$) разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 2,8)$, $(2,8; 9,2)$ и $(9,2; +\infty)$.

Определим знак произведения в каждом интервале:

1. В интервале $(9,2; +\infty)$ выберем $x=10$: $(10+0,7)(10-2,8)(10-9,2) = (10,7)(7,2)(0,8) > 0$. Знак «+».

2. В интервале $(2,8; 9,2)$ выберем $x=3$: $(3+0,7)(3-2,8)(3-9,2) = (3,7)(0,2)(-6,2) < 0$. Знак «-».

3. В интервале $(-0,7; 2,8)$ выберем $x=0$: $(0+0,7)(0-2,8)(0-9,2) = (0,7)(-2,8)(-9,2) > 0$. Знак «+».

4. В интервале $(-\infty; -0,7)$ выберем $x=-1$: $(-1+0,7)(-1-2,8)(-1-9,2) = (-0,3)(-3,8)(-10,2) < 0$. Знак «-».

По условию задачи, произведение должно быть отрицательным. Это соответствует интервалам, где мы получили знак «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)$

289. Решите неравенство:

а)

Для решения неравенства $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_1 = -9$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x - 15 = 0 \Rightarrow x_3 = 15$

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 2)$, $(2; 15)$ и $(15; +\infty)$. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки на оси будут выколотыми.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 20$:

$(20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = 29 \cdot 18 \cdot 5 > 0$. Значит, в интервале $(15; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться при переходе через корень. Двигаясь справа налево, получаем следующую расстановку знаков:

на интервале $(15; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(2; 15)$ знак «$-$»
на интервале $(-9; 2)$ знак «$+$»
на интервале $(-\infty; -9)$ знак «$-$»

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «минус». Это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(2; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)$.

б)

Решим неравенство $x(x - 5)(x + 6) > 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения:

$x(x - 5)(x + 6) = 0$

Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания:

$x_1 = -6$

$x_2 = 0$

$x_3 = 5$

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Неравенство строгое ($> 0$), поэтому точки выколотые.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв пробную точку, например, $x = 10$:

$10(10 - 5)(10 + 6) = 10 \cdot 5 \cdot 16 > 0$. В интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно.

Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Расстановка знаков:

на интервале $(5; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(0; 5)$ знак «$-$»
на интервале $(-6; 0)$ знак «$+$»
на интервале $(-\infty; -6)$ знак «$-$»

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «плюс»). Это интервалы $(-6; 0)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0$ методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16)$, решив уравнение $f(x) = 0$.

Корни уравнения в порядке возрастания:

$x_1 = 1$

$x_2 = 4$

$x_3 = 8$

$x_4 = 16$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 8)$, $(8; 16)$ и $(16; +\infty)$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x = 20$:

$(20 - 1)(20 - 4)(20 - 8)(20 - 16) = 19 \cdot 16 \cdot 12 \cdot 4 > 0$. В интервале $(16; +\infty)$ выражение положительно.

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются:

на интервале $(16; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(8; 16)$ знак «$-$»
на интервале $(4; 8)$ знак «$+$»
на интервале $(1; 4)$ знак «$-$»
на интервале $(-\infty; 1)$ знак «$+$»

Мы ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак «минус»). Это интервалы $(1; 4)$ и $(8; 16)$.

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (8; 16)$.

290. Найдите множество решений неравенства:

а) $5(x - 13)(x + 24) < 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не изменится:

$(x - 13)(x + 24) < 0$

Теперь найдем корни соответствующего уравнения $(x - 13)(x + 24) = 0$. Корнями являются $x_1 = 13$ и $x_2 = -24$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -24)$, $(-24, 13)$ и $(13, +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 13)(x + 24)$. Ее график - парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале между $-24$ и $13$.

Ответ: $x \in (-24, 13)$.

б) $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\frac{1}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Сравним корни: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}$.

График функции $f(x) = (x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3})$ - это парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями.

Неравенство выполняется, когда $x$ находится между $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{7}$ включительно.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, -\frac{1}{7}]$.

в) $(x + 12)(3 - x) > 0$

Для удобства преобразуем второй множитель, вынеся за скобки -1:

$(x + 12) \cdot (-(x - 3)) > 0$

$-(x + 12)(x - 3) > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x + 12)(x - 3) < 0$

Найдем корни уравнения $(x + 12)(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -12$ и $x_2 = 3$.

График функции $f(x) = (x + 12)(x - 3)$ - это парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства - это интервал от -12 до 3.

Ответ: $x \in (-12, 3)$.

г) $(6 + x)(3x - 1) \le 0$

Перепишем неравенство в виде $(x + 6)(3x - 1) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(x + 6)(3x - 1) = 0$.

Из первого множителя получаем корень $x_1 = -6$.

Из второго множителя $3x - 1 = 0$ получаем корень $x_2 = \frac{1}{3}$.

Раскрыв скобки, мы получили бы квадратный трехчлен $3x^2 + 17x - 6$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 3), значит, ветви параболы направлены вверх.

Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства - это отрезок от -6 до $\frac{1}{3}$ включительно.

Ответ: $x \in [-6, \frac{1}{3}]$.

291. Решите неравенство:

а)

Дано неравенство $2(x - 18)(x - 19) > 0$.

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$(x - 18)(x - 19) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 18)(x - 19) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 18 = 0 \implies x_1 = 18$

$x - 19 = 0 \implies x_2 = 19$

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак $> $), точки $x=18$ и $x=19$ будут выколотыми (не включаются в решение). Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 18)$, $(18, 19)$ и $(19, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 18)(x - 19)$ на каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• Интервал $(19, +\infty)$: возьмем $x=20$. $(20 - 18)(20 - 19) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(18, 19)$: возьмем $x=18.5$. $(18.5 - 18)(18.5 - 19) = 0.5 \cdot (-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-\infty, 18)$: возьмем $x=0$. $(0 - 18)(0 - 19) = (-18) \cdot (-19) = 342 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, 18)$ и $(19, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 18) \cup (19, +\infty)$

б)

Дано неравенство $-4(x + 0.9)(x - 3.2) < 0$.

Разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с «$<$» на «$>$»):

$(x + 0.9)(x - 3.2) > 0$

Найдем корни уравнения $(x + 0.9)(x - 3.2) = 0$:

$x + 0.9 = 0 \implies x_1 = -0.9$

$x - 3.2 = 0 \implies x_2 = 3.2$

Отметим точки $x=-0.9$ и $x=3.2$ на числовой оси. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -0.9)$, $(-0.9, 3.2)$ и $(3.2, +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 0.9)(x - 3.2)$ на интервалах:

• Интервал $(3.2, +\infty)$: возьмем $x=4$. $(4 + 0.9)(4 - 3.2) = 4.9 \cdot 0.8 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-0.9, 3.2)$: возьмем $x=0$. $(0 + 0.9)(0 - 3.2) = 0.9 \cdot (-3.2) < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-\infty, -0.9)$: возьмем $x=-1$. $(-1 + 0.9)(-1 - 3.2) = (-0.1) \cdot (-4.2) > 0$. Знак «+».

Мы ищем решения неравенства $(x + 0.9)(x - 3.2) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -0.9) \cup (3.2, +\infty)$

в)

Дано неравенство $(7x + 21)(x - 8.5) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(7x + 21)(x - 8.5) = 0$:

$7x + 21 = 0 \implies 7x = -21 \implies x_1 = -3$

$x - 8.5 = 0 \implies x_2 = 8.5$

Отметим корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), точки $x=-3$ и $x=8.5$ будут закрашенными (включаются в решение). Они разбивают ось на три промежутка: $(-\infty, -3]$, $[-3, 8.5]$ и $[8.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $(7x + 21)(x - 8.5)$ на каждом промежутке:

• Промежуток $[8.5, +\infty)$: возьмем $x=10$. $(7 \cdot 10 + 21)(10 - 8.5) = 91 \cdot 1.5 > 0$. Знак «+».

• Промежуток $[-3, 8.5]$: возьмем $x=0$. $(7 \cdot 0 + 21)(0 - 8.5) = 21 \cdot (-8.5) < 0$. Знак «-».

• Промежуток $(-\infty, -3]$: возьмем $x=-4$. $(7 \cdot (-4) + 21)(-4 - 8.5) = (-7) \cdot (-12.5) > 0$. Знак «+».

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак $\le$). Это промежуток со знаком «-», включая его концы.

Ответ: $x \in [-3, 8.5]$

г)

Дано неравенство $(8 - x)(x - 0.3) \ge 0$.

Чтобы привести первый множитель к стандартному виду $(x-a)$, вынесем за скобку -1: $-(x - 8)(x - 0.3) \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный (с «$\ge$» на «$\le$»):

$(x - 8)(x - 0.3) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - 8)(x - 0.3) = 0$:

$x - 8 = 0 \implies x_1 = 8$

$x - 0.3 = 0 \implies x_2 = 0.3$

Отметим точки $x=0.3$ и $x=8$ на числовой оси. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Они разбивают ось на промежутки: $(-\infty, 0.3]$, $[0.3, 8]$ и $[8, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 8)(x - 0.3)$ на каждом промежутке:

• Промежуток $[8, +\infty)$: возьмем $x=10$. $(10 - 8)(10 - 0.3) = 2 \cdot 9.7 > 0$. Знак «+».

• Промежуток $[0.3, 8]$: возьмем $x=1$. $(1 - 8)(1 - 0.3) = (-7) \cdot 0.7 < 0$. Знак «-».

• Промежуток $(-\infty, 0.3]$: возьмем $x=0$. $(0 - 8)(0 - 0.3) = (-8) \cdot (-0.3) > 0$. Знак «+».

Мы ищем решение неравенства $(x - 8)(x - 0.3) \le 0$, поэтому выбираем промежуток со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in [0.3, 8]$

292. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)}$

Область определения функции — это все значения $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, нам необходимо решить неравенство:

$(5 - x)(x + 8) \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули (корни) левой части, решив уравнение:

$(5 - x)(x + 8) = 0$

Отсюда получаем два корня: $5 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 5$ и $x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(5 - x)(x + 8)$ на каждом интервале, взяв пробную точку из каждого:

• Для интервала $(-\infty; -8)$, возьмем $x = -10$: $(5 - (-10))(-10 + 8) = (15)(-2) = -30$. Знак "минус".
• Для интервала $(-8; 5)$, возьмем $x = 0$: $(5 - 0)(0 + 8) = (5)(8) = 40$. Знак "плюс".
• Для интервала $(5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $(5 - 6)(6 + 8) = (-1)(14) = -14$. Знак "минус".

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалу, где знак "плюс", а также точкам, где выражение равно нулю. Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-8; 5]$.

Ответ: $D(y) = [-8; 5]$.

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}$

Аналогично предыдущему пункту, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$(x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 12)(x - 1)(x - 9) = 0$:

$x_1 = -12$, $x_2 = 1$, $x_3 = 9$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ее на четыре интервала: $(-\infty; -12)$, $(-12; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 12)(x - 1)(x - 9)$ в каждом из интервалов:

• Для интервала $(-\infty; -12)$, возьмем $x = -13$: $(-13 + 12)(-13 - 1)(-13 - 9) = (-1)(-14)(-22) < 0$. Знак "минус".
• Для интервала $(-12; 1)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 12)(0 - 1)(0 - 9) = (12)(-1)(-9) > 0$. Знак "плюс".
• Для интервала $(1; 9)$, возьмем $x = 2$: $(2 + 12)(2 - 1)(2 - 9) = (14)(1)(-7) < 0$. Знак "минус".
• Для интервала $(9; +\infty)$, возьмем $x = 10$: $(10 + 12)(10 - 1)(10 - 9) = (22)(9)(1) > 0$. Знак "плюс".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "плюс", а также точки, где выражение равно нулю.

Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-12; 1] \cup [9; +\infty)$.

293. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) Выражение с квадратным корнем имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Следовательно, нам нужно решить неравенство:
$(2x + 5)(x - 17) \ge 0$
Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 5)(x - 17) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x_1 = -2.5$
$x - 17 = 0 \Rightarrow x_2 = 17$
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2.5]$, $[-2.5; 17]$ и $[17; +\infty)$. Определим знак выражения $(2x + 5)(x - 17)$ в каждом интервале.
- При $x < -2.5$ (например, $x = -3$): $(2(-3) + 5)(-3 - 17) = (-1)(-20) = 20 > 0$. Знак «+».
- При $-2.5 < x < 17$ (например, $x = 0$): $(2(0) + 5)(0 - 17) = (5)(-17) = -85 < 0$. Знак «-».
- При $x > 17$ (например, $x = 18$): $(2(18) + 5)(18 - 17) = (41)(1) = 41 > 0$. Знак «+».
Так как нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, мы выбираем интервалы со знаком «+», включая концы интервалов.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -2.5$ или $x \ge 17$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [17; +\infty)$.

б) Аналогично пункту а), подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x(x + 9)(2x - 8) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x + 9)(2x - 8) = 0$.
$x_1 = 0$
$x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$
$2x - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_3 = 4$
Отметим точки $-9, 0, 4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9]$, $[-9; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале.
- При $x < -9$ (например, $x = -10$): $(-10)(-10+9)(2(-10)-8) = (-)(-)(-) = -$.
- При $-9 < x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1+9)(2(-1)-8) = (-)(+)(-) = +$.
- При $0 < x < 4$ (например, $x = 1$): $(1)(1+9)(2(1)-8) = (+)(+)(-) = -$.
- При $x > 4$ (например, $x = 5$): $(5)(5+9)(2(5)-8) = (+)(+)(+) = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак «+»), включая точки, где оно равно нулю.
Это интервалы $[-9; 0]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; 0] \cup [4; +\infty)$.

294. Решите неравенство:

а) Решим неравенство $\frac{x-5}{x+6} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя. Эти точки являются границами интервалов, на которых выражение сохраняет свой знак.
Нуль числителя: $x-5=0 \implies x=5$.
Нуль знаменателя (точка, в которой выражение не определено): $x+6=0 \implies x=-6$.
2. Отмечаем точки $-6$ и $5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 5)$ и $(5; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала.
- В интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{10-5}{10+6} = \frac{5}{16} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-6; 5)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0+6} = -\frac{5}{6} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -6)$, возьмем $x=-10$: $\frac{-10-5}{-10+6} = \frac{-15}{-4} > 0$. Знак «+».
4. Так как по условию неравенство $\frac{x-5}{x+6}$ должно быть меньше нуля, выбираем интервал со знаком «-».
Это интервал $(-6; 5)$.
Ответ: $x \in (-6; 5)$.

б) Решим неравенство $\frac{1,4-x}{x+3,8} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1,4-x=0 \implies x=1,4$.
Нуль знаменателя: $x+3,8=0 \implies x=-3,8$.
2. Отмечаем точки $-3,8$ и $1,4$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty; -3,8)$, $(-3,8; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(1,4; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{1,4-2}{2+3,8} = \frac{-0,6}{5,8} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-3,8; 1,4)$, возьмем $x=0$: $\frac{1,4-0}{0+3,8} = \frac{1,4}{3,8} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -3,8)$, возьмем $x=-4$: $\frac{1,4-(-4)}{-4+3,8} = \frac{5,4}{-0,2} < 0$. Знак «-».
4. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «-».
Это интервалы $(-\infty; -3,8)$ и $(1,4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x}{x-1,6} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x=0 \implies x=0$.
Нуль знаменателя: $x-1,6=0 \implies x=1,6$.
2. Отмечаем точки $0$ и $1,6$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1,6)$ и $(1,6; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(1,6; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{2 \cdot 2}{2-1,6} = \frac{4}{0,4} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(0; 1,6)$, возьмем $x=1$: $\frac{2 \cdot 1}{1-1,6} = \frac{2}{-0,6} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{2 \cdot (-1)}{-1-1,6} = \frac{-2}{-2,6} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(1,6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x-1,5}{x-4} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x-1,5=0 \implies 5x=1,5 \implies x=0,3$.
Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$.
2. Отмечаем точки $0,3$ и $4$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; 0,3)$, $(0,3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x=5$: $\frac{5 \cdot 5-1,5}{5-4} = \frac{23,5}{1} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(0,3; 4)$, возьмем $x=1$: $\frac{5 \cdot 1-1,5}{1-4} = \frac{3,5}{-3} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; 0,3)$, возьмем $x=0$: $\frac{5 \cdot 0-1,5}{0-4} = \frac{-1,5}{-4} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; 0,3)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{5x+1}{x-2} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x+1=0 \implies 5x=-1 \implies x=-0,2$.
Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.
2. Отмечаем точки $-0,2$ и $2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; -0,2)$, $(-0,2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $\frac{5 \cdot 3+1}{3-2} = \frac{16}{1} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-0,2; 2)$, возьмем $x=0$: $\frac{5 \cdot 0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -0,2)$, возьмем $x=-1$: $\frac{5 \cdot (-1)+1}{-1-2} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; -0,2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,2) \cup (2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{3x}{2x+9} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x=0 \implies x=0$.
Нуль знаменателя: $2x+9=0 \implies 2x=-9 \implies x=-4,5$.
2. Отмечаем точки $-4,5$ и $0$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; -4,5)$, $(-4,5; 0)$ и $(0; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(0; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1+9} = \frac{3}{11} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-4,5; 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{3 \cdot (-1)}{2 \cdot (-1)+9} = \frac{-3}{7} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -4,5)$, возьмем $x=-5$: $\frac{3 \cdot (-5)}{2 \cdot (-5)+9} = \frac{-15}{-1} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервал со знаком «-».
Это интервал $(-4,5; 0)$.
Ответ: $x \in (-4,5; 0)$.

295. Решите неравенство:

а)

Решим неравенство $\frac{x - 21}{x + 7} < 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя дроби.
Нуль числителя: $x - 21 = 0 \implies x = 21$.
Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($< 0$), обе точки будут выколотыми.

3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -7)$, $(-7; 21)$ и $(21; +\infty)$.
- Для интервала $(21; +\infty)$ возьмём $x=22$: $\frac{22 - 21}{22 + 7} = \frac{1}{29} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-7; 21)$ возьмём $x=0$: $\frac{0 - 21}{0 + 7} = \frac{-21}{7} = -3 < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -7)$ возьмём $x=-8$: $\frac{-8 - 21}{-8 + 7} = \frac{-29}{-1} = 29 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу со знаком «?».

Ответ: $x \in (-7; 21)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x + 4,7}{x - 7,2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 4,7 = 0 \implies x = -4,7$.
Нуль знаменателя: $x - 7,2 = 0 \implies x = 7,2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 7,2$.

2. Отметим выколотые точки $x = -4,7$ и $x = 7,2$ на числовой прямой (неравенство строгое).

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; -4,7)$, $(-4,7; 7,2)$ и $(7,2; +\infty)$.
- Для интервала $(7,2; +\infty)$ возьмём $x=8$: $\frac{8 + 4,7}{8 - 7,2} = \frac{12,7}{0,8} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-4,7; 7,2)$ возьмём $x=0$: $\frac{0 + 4,7}{0 - 7,2} = -\frac{4,7}{7,2} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -4,7)$ возьмём $x=-5$: $\frac{-5 + 4,7}{-5 - 7,2} = \frac{-0,3}{-12,2} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{6x + 1}{3 + x} > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x = -\frac{1}{6}$.
Нуль знаменателя: $3 + x = 0 \implies x = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -3$.

2. Отметим выколотые точки $x = -3$ и $x = -\frac{1}{6}$ на числовой прямой.

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -\frac{1}{6})$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$.
- Для интервала $(-\frac{1}{6}; +\infty)$ возьмём $x=0$: $\frac{6(0) + 1}{3 + 0} = \frac{1}{3} > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(-3; -\frac{1}{6})$ возьмём $x=-1$: $\frac{6(-1) + 1}{3 - 1} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмём $x=-4$: $\frac{6(-4) + 1}{3 - 4} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{5x}{4x - 12} < 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x = 0 \implies x = 0$.
Нуль знаменателя: $4x - 12 = 0 \implies 4x = 12 \implies x = 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 3$.

2. Отметим выколотые точки $x = 0$ и $x = 3$ на числовой прямой.

3. Определим знак выражения на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$: $\frac{5(4)}{4(4) - 12} = \frac{20}{4} = 5 > 0$. Знак «+».
- Для интервала $(0; 3)$ возьмём $x=1$: $\frac{5(1)}{4(1) - 12} = \frac{5}{-8} < 0$. Знак «?».
- Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмём $x=-1$: $\frac{5(-1)}{4(-1) - 12} = \frac{-5}{-16} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу со знаком «?».

Ответ: $x \in (0; 3)$.

296. Найдите множество решений неравенства:

а)

Решим неравенство $\frac{x-1}{x-3} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя: $x-1 = 0 \implies x = 1$.
2. Находим нули знаменателя (точки разрыва): $x-3 = 0 \implies x = 3$.
3. Отмечаем точки 1 и 3 на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (не входят в решение).
4. Определяем знаки выражения на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$.
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Знак "-".
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-1}{4-3} = \frac{3}{1} = 3 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x+6}{x-5} \le 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя: $x+6 = 0 \implies x = -6$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Находим нули знаменателя: $x-5 = 0 \implies x = 5$. Эта точка всегда исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.
3. Отмечаем точки -6 (закрашенная) и 5 (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения на интервалах $(-\infty, -6]$, $[-6, 5)$ и $(5, \infty)$.
- При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0$. Знак "+".
- При $-6 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-5} = -\frac{6}{5} < 0$. Знак "-".
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6+6}{6-5} = 12 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[-6, 5)$.
Ответ: $x \in [-6, 5)$.

в)

Решим неравенство $\frac{2-x}{x} \ge 0$.
Чтобы было удобнее работать с методом интервалов, преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при $x$ был положительным. Для этого вынесем "-1" за скобки в числителе: $\frac{-(x-2)}{x} \ge 0$.
Теперь умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x-2}{x} \le 0$.
1. Нуль числителя: $x-2 = 0 \implies x = 2$. Точка включается в решение ($\le$).
2. Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки 0 (выколотая) и 2 (закрашенная) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{x-2}{x}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$ и $[2, \infty)$.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".
- При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{1-2}{1} = -1 < 0$. Знак "-".
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение $\frac{x-2}{x}$ меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $(0, 2]$.
Ответ: $x \in (0, 2]$.

г)

Решим неравенство $\frac{3-2x}{x-1} \le 0$.
Преобразуем числитель: $\frac{-(2x-3)}{x-1} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{2x-3}{x-1} \ge 0$.
1. Нуль числителя: $2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка включается в решение ($\ge$).
2. Нуль знаменателя: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки 1 (выколотая) и 1.5 (закрашенная) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{2x-3}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 1.5]$ и $[1.5, \infty)$.
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0-1} = 3 > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 1.5$ (например, $x=1.2$): $\frac{2(1.2)-3}{1.2-1} = \frac{-0.6}{0.2} = -3 < 0$. Знак "-".
- При $x > 1.5$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2-1} = 1 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{2x-3}{x-1}$ больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $[1.5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{3}{2}, \infty)$.

д)

Решим неравенство $\frac{7x-2}{1-x} \ge 0$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{7x-2}{-(x-1)} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{7x-2}{x-1} \le 0$.
1. Нуль числителя: $7x-2=0 \implies x = \frac{2}{7}$. Точка включается в решение ($\le$).
2. Нуль знаменателя: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки $\frac{2}{7}$ (закрашенная) и 1 (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{7x-2}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, \frac{2}{7}]$, $[\frac{2}{7}, 1)$ и $(1, \infty)$.
- При $x < \frac{2}{7}$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)-2}{0-1} = 2 > 0$. Знак "+".
- При $\frac{2}{7} < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{7(0.5)-2}{0.5-1} = \frac{1.5}{-0.5} = -3 < 0$. Знак "-".
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{7(2)-2}{2-1} = 12 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение $\frac{7x-2}{x-1}$ меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[\frac{2}{7}, 1)$.
Ответ: $x \in [\frac{2}{7}, 1)$.

е)

Решим неравенство $\frac{1-11x}{2x-3} \le 0$.
Преобразуем числитель: $\frac{-(11x-1)}{2x-3} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{11x-1}{2x-3} \ge 0$.
1. Нуль числителя: $11x-1=0 \implies x = \frac{1}{11}$. Точка включается в решение ($\ge$).
2. Нуль знаменателя: $2x-3=0 \implies x = \frac{3}{2}$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки $\frac{1}{11}$ (закрашенная) и $\frac{3}{2}$ (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{11x-1}{2x-3}$ на интервалах $(-\infty, \frac{1}{11}]$, $[\frac{1}{11}, \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.
- При $x < \frac{1}{11}$ (например, $x=0$): $\frac{11(0)-1}{2(0)-3} = \frac{-1}{-3} > 0$. Знак "+".
- При $\frac{1}{11} < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{11(1)-1}{2(1)-3} = \frac{10}{-1} = -10 < 0$. Знак "-".
- При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{11(2)-1}{2(2)-3} = \frac{21}{1} = 21 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{11x-1}{2x-3}$ больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, \frac{1}{11}]$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{11}] \cup (\frac{3}{2}, \infty)$.