Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

276. Какое из данных выражений принимает положительное значение при любом значении y?

Чтобы определить, какое из выражений принимает положительное значение при любом значении $y$, необходимо проанализировать каждое из них. Каждое выражение представляет собой квадратичную функцию от $y$. Квадратичная функция $f(y) = ay^2 + by + c$ принимает только положительные значения тогда и только тогда, когда ее график (парабола) целиком находится выше оси абсцисс. Это выполняется при двух условиях: коэффициент при старшем члене положителен ($a > 0$, ветви параболы направлены вверх), и дискриминант отрицателен ($D = b^2 - 4ac < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс).

Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. $(y - 2)(y - 3) - 4$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(y - 2)(y - 3) - 4 = y^2 - 3y - 2y + 6 - 4 = y^2 - 5y + 2$.

Получили квадратный трёхчлен $y^2 - 5y + 2$ с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=2$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.

Поскольку $D = 17 > 0$, квадратное уравнение имеет два корня. Это значит, что парабола пересекает ось абсцисс, и, следовательно, выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=2$, значение выражения равно $(2 - 2)(2 - 3) - 4 = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.

2. $(5 - y)(1 - y) + 4$

Раскроем скобки и упростим:

$(5 - y)(1 - y) + 4 = 5 - 5y - y + y^2 + 4 = y^2 - 6y + 9$.

Данное выражение является полным квадратом: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.

Значение выражения $(y - 3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(y - 3)^2 \geq 0$. Однако при $y=3$ выражение обращается в ноль: $(3 - 3)^2 = 0$. Ноль не является положительным числом, поэтому данное выражение не является положительным при любом значении $y$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.

3. $(5 - y)(1 - y) + 10$

Упростим выражение, используя результат из предыдущего пункта:

$(5 - y)(1 - y) = y^2 - 6y + 9$.

Следовательно, выражение равно: $(y^2 - 6y + 9) + 10 = y^2 - 6y + 19$.

Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=19$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 36 - 76 = -40$.

Поскольку $D = -40 < 0$ и $a > 0$, парабола не пересекает ось абсцисс и целиком расположена над ней. Это означает, что выражение всегда принимает только положительные значения.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$y^2 - 6y + 19 = (y^2 - 6y + 9) + 10 = (y - 3)^2 + 10$.

Так как $(y - 3)^2 \geq 0$ для любого $y$, наименьшее значение этого слагаемого равно $0$ (достигается при $y=3$). Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 10 = 10$. Поскольку $10 > 0$, выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение принимает положительное значение при любом $y$.

4. $(y - 8)(y - 7) - 60$

Раскроем скобки и упростим:

$(y - 8)(y - 7) - 60 = y^2 - 7y - 8y + 56 - 60 = y^2 - 15y - 4$.

Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-15$, $c=-4$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 225 + 16 = 241$.

Поскольку $D = 241 > 0$, парабола пересекает ось абсцисс. Значит, выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=7$, значение выражения равно $(7 - 8)(7 - 7) - 60 = -1 \cdot 0 - 60 = -60$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.

277. Докажите, что:

а) Докажите, что $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$.

Решение:

Для доказательства неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 + 7x + 1 - (-x^2 + 10x - 1) > 0$

$x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (7x - 10x) + (1 + 1) > 0$

$2x^2 - 3x + 2 > 0$

Теперь нам нужно доказать, что полученное неравенство верно при любом значении $x$. Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 2 > 0$.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 2$ принимает только положительные значения при любом $x$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

Решение:

Для доказательства неравенства перенесем все его члены в одну часть. Удобнее перенести в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$0 < 18 - 2x - (-2x^2 + 10x)$

$0 < 18 - 2x + 2x^2 - 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$0 < 2x^2 - 12x + 18$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства при этом не меняется):

$0 < x^2 - 6x + 9$

Выражение в правой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$0 < (x - 3)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

По условию задачи $x \neq 3$. Это означает, что основание степени $(x-3)$ не равно нулю. Следовательно, его квадрат $(x - 3)^2$ всегда будет строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство доказано для всех $x \neq 3$.

Ответ: Доказано.

278. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит 60 см²?

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Поскольку одна сторона на 7 см больше другой, то большая сторона равна $(x + 7)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон: $S = x(x + 7)$ см?.

По условию задачи, площадь не превосходит 60 см?. Это означает, что площадь меньше или равна 60. Составим и решим неравенство: $x(x + 7) \le 60$

Для решения раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду: $x^2 + 7x \le 60$ $x^2 + 7x - 60 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 60 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$ $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы решаем неравенство $x^2 + 7x - 60 \le 0$. Графиком функции $y = x^2 + 7x - 60$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями (включая корни). Таким образом, решением неравенства является отрезок: $-12 \le x \le 5$

Так как $x$ — это длина стороны прямоугольника, она не может быть отрицательной или равной нулю, то есть должно выполняться условие $x > 0$.

Найдем пересечение двух условий: $-12 \le x \le 5$ и $x > 0$. Общим решением будет полуинтервал: $0 < x \le 5$

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника может быть любым числом, которое больше 0 и не превышает 5.

Ответ: меньшая сторона может быть больше 0 см, но не более 5 см.

279. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?

Обозначим ширину прямоугольника через $x$ см. Поскольку ширина не может быть отрицательной или равной нулю, должно выполняться условие $x > 0$.

По условию задачи, длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Следовательно, длина прямоугольника составляет $(x + 5)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его длины на ширину: $S = x(x + 5)$.

Нам нужно, чтобы площадь была больше 36 см². Составим и решим неравенство:

$x(x + 5) > 36$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$x^2 + 5x > 36$
$x^2 + 5x - 36 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x - 36 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Квадратичная функция $y = x^2 + 5x - 36$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны (то есть $y > 0$) за пределами корней. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 5x - 36 > 0$ есть объединение интервалов: $x \in (-\infty; -9) \cup (4; +\infty)$.

Теперь учтем первоначальное условие, что ширина $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Найдем пересечение полученного решения с этим условием:

$\left\{ \begin{array}{l} x \in (-\infty; -9) \cup (4; +\infty) \\ x > 0 \end{array} \right.$

Общим решением для этой системы является интервал $x > 4$.

Следовательно, ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.

Ответ: ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.

280. Решите систему неравенств:

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Отсюда корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Значит, квадратный трехчлен принимает отрицательные значения между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 9 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Аналогично, ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств.

Ищем пересечение интервалов $(-2, 4)$ и $(-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 - 13x + 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (0.5, 6)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 4x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 4) > 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение интервала $(0.5, 6)$ с объединением интервалов $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Пересечение $(0.5, 6) \cap ((-\infty, 0) \cup (4, \infty))$ дает нам интервал $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (4, 6)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0 \\ x^2 + 2x - 120 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 8$, $x_2 = -2$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 2x - 120 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 120 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 10$, $x_2 = -12$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-12, 10)$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение $((-\infty, -2) \cup (8, \infty)) \cap (-12, 10)$.

Это равносильно объединению двух пересечений: $ ((-\infty, -2) \cap (-12, 10)) \cup ((8, \infty) \cap (-12, 10))$.

Первое пересечение дает $(-12, -2)$, второе — $(8, 10)$.

Ответ: $x \in (-12, -2) \cup (8, 10)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0 \\ x^2 + 4x - 12 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $3x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = -1$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 4x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -6$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in [-6, 2]$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение отрезков $[-1, \frac{2}{3}]$ и $[-6, 2]$.

Пересечением является отрезок $[-1, \frac{2}{3}]$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

д) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 + 4x + 15 \ge 0$.

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 4x + 15$. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 - 120 = -104$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $2x^2 + 4x + 15$ всегда положительно.

Решение первого неравенства: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 9x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.

Решение второго неравенства: $x \in [1, 8]$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение $(-\infty, \infty) \cap [1, 8]$.

Пересечением является отрезок $[1, 8]$.

Ответ: $x \in [1, 8]$.

е) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0 \\ 3x^2 + x + 11 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 + 5x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, 0.5)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2 + x + 11 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + x + 11$. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $3x^2 + x + 11$ всегда положительно и никогда не бывает меньше нуля.

Решение второго неравенства: решений нет, $x \in \emptyset$.

3. Найдем пересечение решений.

Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

281. Укажите все целые значения x, принадлежащие области определения функции:

а) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: $25 - x^2 \ge 0$. Оно равносильно неравенству $x^2 \le 25$. Решением является промежуток $x \in [-5, 5]$.

2. Второе неравенство: $9x - x^2 - 14 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [2, 7]$.

Область определения функции является пересечением полученных промежутков: $[-5, 5] \cap [2, 7]$. Пересечением является отрезок $[2, 5]$.

Целые значения $x$, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

б) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: $8x - x^2 - 12 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 8x + 12 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение: $x \in [2, 6]$.

2. Второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0$. Оно равносильно неравенству $x^2 \le 16$. Решением является промежуток $x \in [-4, 4]$.

Область определения функции является пересечением полученных промежутков: $[2, 6] \cap [-4, 4]$. Пересечением является отрезок $[2, 4]$.

Целые значения $x$, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.

282. Функция задана формулой y = $\frac{0,5x-2}{3}$. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения её графика с осью x; с осью y. Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

с осью x:

Точка пересечения графика функции с осью $x$ (осью абсцисс) имеет координату $y$, равную нулю. Чтобы найти координату $x$ этой точки, нужно приравнять выражение для функции к нулю и решить полученное уравнение.

$y = \frac{0,5x - 2}{3}$

При $y = 0$ получаем:

$\frac{0,5x - 2}{3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$0,5x - 2 = 0$

Перенесем $-2$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$0,5x = 2$

Разделим обе части на $0,5$:

$x = \frac{2}{0,5} = 4$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью $x$ равны $(4; 0)$.

Ответ: $(4; 0)$.

с осью y:

Точка пересечения графика функции с осью $y$ (осью ординат) имеет координату $x$, равную нулю. Чтобы найти координату $y$ этой точки, нужно подставить $x = 0$ в формулу функции.

$y = \frac{0,5 \cdot 0 - 2}{3}$

$y = \frac{0 - 2}{3}$

$y = -\frac{2}{3}$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью $y$ равны $(0; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $(0; -\frac{2}{3})$.

Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

Заданная функция $y = \frac{0,5x - 2}{3}$ является линейной функцией, так как ее можно представить в виде $y = kx + b$. Преобразуем нашу формулу:

$y = \frac{0,5x}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{0,5}{3}x - \frac{2}{3}$

Здесь угловой коэффициент $k = \frac{0,5}{3}$. Вычислим его значение:

$k = \frac{0,5}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$

Монотонность линейной функции определяется знаком ее углового коэффициента $k$. Если $k > 0$, функция является возрастающей. Если $k < 0$, функция является убывающей.

В нашем случае $k = \frac{1}{6}$, что больше нуля ($k > 0$). Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция является возрастающей.