Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

265. Найдите множество решений неравенства:

а) 2x² + 3x – 5 ≥ 0;

б) –6x² + 6x + 36 ≥ 0;

в) –x² + 5 ≤ 0.

а) Чтобы найти множество решений неравенства $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$, мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем коэффициенты $a=2, b=3, c=-5$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

График функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2$ положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2.5$ и $x=1$. Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0$. Для упрощения разделим все его части на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 6 \le 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

График функции $y = x^2 - x - 6$ — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x=-2$ и $x=3$. Неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ истинно, когда парабола находится на оси Ox или ниже неё, то есть между корнями (включая концы интервала).

Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 5 \le 0$. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5 = 0$:

$x^2 = 5$

$x_1 = -\sqrt{5}$, $x_2 = \sqrt{5}$

Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), которая пересекает ось Ox в точках $x=-\sqrt{5}$ и $x=\sqrt{5}$. Неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.

266. Решите неравенство:

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 13x - 7 = 0$. Это точки, в которых парабола $y = 2x^2 + 13x - 7$ пересекает ось абсцисс.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 \pm 15}{4}$

$x_1 = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$

$x_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 13x - 7 > 0$ выполняется там, где график функции находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > 0.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; \infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(3x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$). Он равен нулю только в том случае, когда само выражение равно нулю. В нашем случае $(3x - 2)^2 = 0$ при $3x - 2 = 0$, то есть при $x = 2/3$.

Следовательно, неравенство $(3x - 2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = 2/3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (2/3; \infty)$.

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 7}{12}$

$x_1 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Ветви параболы $y = 6x^2 - 13x + 5$ направлены вверх (т.к. $a=6 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на том промежутке, где график параболы находится ниже или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.

Решением является отрезок: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$.

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$

Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства:

$2x^2 + 5x - 18 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 13}{4}$

$x_1 = \frac{-5 - 13}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 18$ направлены вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где график находится выше или на оси Ox, то есть вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение: $x \le -4.5$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; \infty)$.

д) $3x^2 - 2x > 0$

Это неполное квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни, приравняв левую часть к нулю: $x(3x-2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется там, где парабола выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; \infty)$.

е) $8 - x^2 < 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$:

$x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Корни: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется там, где парабола выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Решение: $x < -2\sqrt{2}$ или $x > 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)$.

267. Найдите, при каких значениях x трёхчлен:

а) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения;

б) –x² – $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения.

а) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $2x^2 + 5x + 3 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$). Парабола находится выше оси Ox (т.е. $y > 0$) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1,5$ или $x > -1$.

Ответ: $(-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)$

б) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} < 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$

Теперь найдём корни уравнения $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (\frac{1}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих):

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-\frac{1}{3}}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{6}$

Так как $D=0$, левую часть неравенства $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$ можно представить в виде полного квадрата: $(x + \frac{1}{6})^2 > 0$.

Выражение $(x + \frac{1}{6})^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = -\frac{1}{6}$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$

268. Решите неравенство:

а) Исходное неравенство: $x^2 < 16$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к виду $f(x) < 0$, получим $x^2 - 16 < 0$. Для решения этого квадратичного неравенства методом интервалов найдем сначала корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4)=0$. Отсюда получаем корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y = x^2 - 16$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4; 4)$.
Ответ: $(-4; 4)$.

б) Исходное неравенство: $x^2 \ge 3$. Перенесем 3 в левую часть: $x^2 - 3 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3 = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции больше или равны нулю (неотрицательны) на промежутках вне корней, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \infty)$.

в) Исходное неравенство: $0,2x^2 > 1,8$. Разделим обе части неравенства на положительное число 0,2, при этом знак неравенства не изменится: $x^2 > \frac{1,8}{0,2}$, что равносильно $x^2 > 9$. Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3)=0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, значения функции положительны на интервалах вне корней. Таким образом, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 3$.
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

г) Исходное неравенство: $-5x^2 \le x$. Перенесем все члены в одну часть, например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $0 \le 5x^2 + x$. Перепишем это в более привычном виде: $5x^2 + x \ge 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(5x + 1) \ge 0$. Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/5 = -0,2$. График функции $y = 5x^2 + x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны на промежутках вне корней, включая сами корни. Следовательно, решением является объединение промежутков $x \le -1/5$ и $x \ge 0$.
Ответ: $(-\infty; -1/5] \cup [0; \infty)$.

д) Исходное неравенство: $3x^2 < -2x$. Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 + 2x < 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x + 2) < 0$. Найдем корни уравнения $x(3x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2/3$. График функции $y = 3x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(-2/3; 0)$.
Ответ: $(-2/3; 0)$.

е) Исходное неравенство: $7x < x^2$. Перенесем $7x$ в правую часть: $0 < x^2 - 7x$. Перепишем в более привычном виде: $x^2 - 7x > 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 7) > 0$. Найдем корни уравнения $x(x - 7) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. График функции $y = x^2 - 7x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны на интервалах вне корней. Следовательно, решением является объединение интервалов $x < 0$ и $x > 7$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (7; \infty)$.

269. Решите неравенство:

а) $0.01x^2 \le 1$

Для решения данного неравенства разделим обе части на $0.01$:

$x^2 \le \frac{1}{0.01}$

$x^2 \le 100$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 100 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 10)(x + 10) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Графиком функции $y = x^2 - 100$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-10 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12$

Умножим обе части неравенства на 2:

$x^2 > 24$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 24 > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{24})(x + \sqrt{24}) > 0$

Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$(x - 2\sqrt{6})(x + 2\sqrt{6}) > 0$

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 2\sqrt{6}$ и $x_2 = -2\sqrt{6}$.

Графиком функции $y = x^2 - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -2\sqrt{6}$ или $x > 2\sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; \infty)$.

в) $4x \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение: $-4 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-4; 0]$.

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от дробей:

$9 \cdot \frac{1}{3}x^2 > 9 \cdot \frac{1}{9}$

$3x^2 > 1$

Разделим на 3:

$x^2 > \frac{1}{3}$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{1}{3} > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{\frac{1}{3}})(x + \sqrt{\frac{1}{3}}) > 0$

Упростим корень: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$(x - \frac{\sqrt{3}}{3})(x + \frac{\sqrt{3}}{3}) > 0$

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Графиком функции $y = x^2 - \frac{1}{3}$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; \infty)$.

д) $5x^2 > 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.

Графиком функции $y = 5x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; \infty)$.

е) $-0.3x < 0.6x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 < 0.6x^2 + 0.3x$

Или, что то же самое:

$0.6x^2 + 0.3x > 0$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$6x^2 + 3x > 0$

Разделим обе части на 3:

$2x^2 + x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 1) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x+1)=0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -\frac{1}{2}$ или $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (0; \infty)$.

270. При каких значениях b уравнение имеет два корня:

а) 3x² + bx + 3 = 0;

б) x² + 2bx + 15 = 0?

Квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $3x^2 + bx + 3 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, коэффициент при $x$ равен $b$, $c = 3$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$

Условие наличия двух корней — $D > 0$. Решим неравенство:
$b^2 - 36 > 0$
$b^2 > 36$

Данное неравенство выполняется, если модуль $b$ больше 6, то есть $b < -6$ или $b > 6$.

Ответ: $b \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$.

б) $x^2 + 2bx + 15 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, коэффициент при $x$ равен $2b$, $c = 15$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4b^2 - 60$

Условие наличия двух корней — $D > 0$. Решим неравенство:
$4b^2 - 60 > 0$
$4b^2 > 60$
$b^2 > 15$

Данное неравенство выполняется, если модуль $b$ больше $\sqrt{15}$, то есть $b < -\sqrt{15}$ или $b > \sqrt{15}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; \infty)$.

271. При каких значениях t уравнение не имеет корней:

а) 2x² + tx + 18 = 0;

б) 4x² + 4tx + 9 = 0?

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней в том случае, если его дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $2x^2 + tx + 18 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = t$, $c = 18$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Составим и решим неравенство:

$t^2 - 144 < 0$

$t^2 < 144$

Чтобы решить это неравенство, найдем значения $t$, при которых $t^2 = 144$. Это $t = 12$ и $t = -12$.

Неравенство $t^2 < 144$ выполняется для всех значений $t$, лежащих в интервале между $-12$ и $12$.

$-12 < t < 12$

Ответ: $-12 < t < 12$.

б) $4x^2 + 4tx + 9 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 4$, $b = 4t$, $c = 9$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (4t)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Составим и решим неравенство:

$16t^2 - 144 < 0$

Разделим обе части неравенства на 16 (так как 16 > 0, знак неравенства не меняется):

$t^2 - 9 < 0$

$t^2 < 9$

Найдем значения $t$, при которых $t^2 = 9$. Это $t = 3$ и $t = -3$.

Неравенство $t^2 < 9$ выполняется для всех значений $t$, лежащих в интервале между $-3$ и $3$.

$-3 < t < 3$

Ответ: $-3 < t < 3$.

272. Найдите множество решений неравенства:

а) Перенесем все члены неравенства $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3$ в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное неравенство:
$3x^2 + x^2 + 40x - 11x + 10 - 3 < 0$
$4x^2 + 29x + 7 < 0$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 29x + 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-29 - \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 - 27}{8} = \frac{-56}{8} = -7$
$x_2 = \frac{-29 + \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 + 27}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Графиком функции $y = 4x^2 + 29x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$). Неравенство имеет вид $f(x) < 0$, что соответствует промежутку между корнями.
Ответ: $x \in (-7; -1/4)$.

б) Перенесем все члены неравенства $9x^2 - x + 9 \geq 3x^2 + 18x - 6$ в левую часть:
$9x^2 - 3x^2 - x - 18x + 9 + 6 \geq 0$
$6x^2 - 19x + 15 \geq 0$
Найдем корни уравнения $6x^2 - 19x + 15 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{19 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{19 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Ветви параболы $y = 6x^2 - 19x + 15$ направлены вверх ($a=6 > 0$). Неравенство $f(x) \geq 0$ выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; 3/2] \cup [5/3; +\infty)$.

в) Раскроем скобки в правой части неравенства $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)$:
$(3x - 5)(2x + 6) = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30$
Неравенство принимает вид:
$2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < 6x^2 - 2x^2 + 8x - 8x - 30 + 111$
$0 < 4x^2 + 81$
Или $4x^2 + 81 > 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^2 \geq 0$. Следовательно, $4x^2 \geq 0$, а $4x^2 + 81 \geq 81$. Так как $81 > 0$, то неравенство $4x^2 + 81 > 0$ выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Раскроем скобки в обеих частях неравенства $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$:
$15x^2 - 5x + 3x - 1 > 4x^2 + 8x - x - 2$
$15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0$
$11x^2 - 9x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$
Ветви параболы $y = 11x^2 - 9x + 1$ направлены вверх ($a=11 > 0$). Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$.

273. Решите неравенство:

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x - 9 > 0$
$2x^2 - 7x - 9 > 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни трехчлена $2x^2 - 7x - 9$:
$2x^2 - 7x - 9 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$
Мы получили квадратичную функцию $y = 2x^2 - 7x - 9$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом:
$0 < 21x^2 - 11x - 13 - (5x^2 - 3x - 14)$
$0 < 21x^2 - 11x - 13 - 5x^2 + 3x + 14$
$0 < 16x^2 - 8x + 1$
Перепишем неравенство в стандартном виде:
$16x^2 - 8x + 1 > 0$
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$(4x - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$. В нашем случае неравенство строгое, поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю.
Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:
$(4x - 1)^2 = 0$
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = \frac{1}{4}$.
Решение можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

274. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{12x - 3x^2}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае необходимо решить неравенство:

$12x - 3x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $12x - 3x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(4 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$4 - x = 0 \implies x_2 = 4$

Графиком функции $f(x) = 12x - 3x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между своими корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0; 4]$.

Ответ: $D(y) = [0; 4]$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$

Область определения данной функции определяется двумя условиями: во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как корень находится в знаменателе, эти два условия объединяются в одно: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, строгое неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

275. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) Обсудите, при каком условии неравенство ax² + bx + c › 0, где a, b, c — некоторые числа, верно при любом значении переменной x. Укажите аналогичные условия для неравенства ax² + bx + c ‹ 0.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.

1)

Рассмотрим квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$. Левая часть неравенства является квадратичным трехчленом, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Знак этого выражения при всех значениях переменной $x$ зависит от двух факторов: знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс).

Условия для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$:

Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ условия: $a > 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.

Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \ge 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a > 0$ и $D \le 0$.

Условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:

Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться ниже оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ условия: $a < 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.

Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a < 0$ и $D \le 0$.

Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.

а) Докажем, что $7x^2 - 10x + 7 > 0$ при любом $x$.

Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 10x + 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -10$, $c = 7$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью Ox: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$.

Поскольку $D = -96 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $7x^2 - 10x + 7$ всегда положительно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем, что $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ при любом $y$.

Рассмотрим функцию $f(y) = -6y^2 + 11y - 10$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 11$, $c = -10$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -6 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$.

Поскольку $D = -119 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Oy (в данном случае ось переменной $y$).

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось, вся парабола расположена ниже оси. Это означает, что значение выражения $-6y^2 + 11y - 10$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем, что $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ при любом $x$.

Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Можно заметить, что это формула квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 12x + 9$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине) и расположена выше нее. Следовательно, $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ для всех $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем, что $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ при любом $x$.

Выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$ является полным квадратом разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox и расположена выше нее. Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ для всех $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем, что $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ при любом $y$.

Вынесем минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.

Таким образом, исходное выражение равно $-(3y - 1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет меньше или равно нулю.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $f(y) = -9y^2 + 6y - 1$. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз. $D = 6^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Oy в своей вершине и расположена ниже нее. Следовательно, $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ для всех $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем, что $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ при любом $x$.

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -5$, $b = 8$, $c = -5$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.

Поскольку $D = -36 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-5x^2 + 8x - 5$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство доказано.