Страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

243. Найдите корни уравнения:

а) Дано уравнение: $(\frac{x+2}{x-4})^2 + 16(\frac{x-4}{x+2})^2 = 17$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-4 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Заметим, что дроби $\frac{x+2}{x-4}$ и $\frac{x-4}{x+2}$ являются взаимно обратными. Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+2}{x-4}$. Тогда $\frac{x-4}{x+2} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 + 16 \cdot (\frac{1}{t})^2 = 17$

$t^2 + \frac{16}{t^2} = 17$

Умножим обе части уравнения на $t^2$ (при условии $t \neq 0$, что выполняется, т.к. иначе второе слагаемое не определено):

$t^4 + 16 = 17t^2$

$t^4 - 17t^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = t^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - 17z + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни легко находятся: $z_1 = 1$ и $z_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $t$:

1) $t^2 = 1 \implies t = \pm 1$

2) $t^2 = 16 \implies t = \pm 4$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого из четырех найденных значений $t$.

Случай 1: $t=1$.

$\frac{x+2}{x-4} = 1 \implies x+2 = x-4 \implies 2 = -4$. Решений нет.

Случай 2: $t=-1$.

$\frac{x+2}{x-4} = -1 \implies x+2 = -(x-4) \implies x+2 = -x+4 \implies 2x=2 \implies x=1$.

Случай 3: $t=4$.

$\frac{x+2}{x-4} = 4 \implies x+2 = 4(x-4) \implies x+2 = 4x-16 \implies 3x=18 \implies x=6$.

Случай 4: $t=-4$.

$\frac{x+2}{x-4} = -4 \implies x+2 = -4(x-4) \implies x+2 = -4x+16 \implies 5x=14 \implies x=\frac{14}{5}$.

Все найденные корни $1, 6, \frac{14}{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 6; \frac{14}{5}$.

б) Дано уравнение: $(\frac{x+1}{x-3})^2 + 18(\frac{x-3}{x+1})^2 = 11$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+1}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+1} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 18 \cdot \frac{1}{t^2} = 11$

$t^2 + \frac{18}{t^2} = 11$

Умножим обе части на $t^2$ (при $t \neq 0$):

$t^4 + 18 = 11t^2$

$t^4 - 11t^2 + 18 = 0$

Сделаем замену $z=t^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - 11z + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $z_1+z_2=11$ и $z_1 \cdot z_2=18$. Отсюда $z_1=2$ и $z_2=9$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $t$:

1) $t^2 = 2 \implies t = \pm\sqrt{2}$

2) $t^2 = 9 \implies t = \pm 3$

Вернемся к переменной $x$ для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=3$.

$\frac{x+1}{x-3} = 3 \implies x+1 = 3(x-3) \implies x+1 = 3x-9 \implies 2x=10 \implies x=5$.

Случай 2: $t=-3$.

$\frac{x+1}{x-3} = -3 \implies x+1 = -3(x-3) \implies x+1 = -3x+9 \implies 4x=8 \implies x=2$.

Случай 3: $t=\sqrt{2}$.

$\frac{x+1}{x-3} = \sqrt{2} \implies x+1 = \sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = x\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \implies x\sqrt{2}-x = 1+3\sqrt{2} \implies x(\sqrt{2}-1) = 1+3\sqrt{2}$.

$x = \frac{1+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(1+3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1+3\cdot 2+3\sqrt{2}}{2-1} = 7+4\sqrt{2}$.

Случай 4: $t=-\sqrt{2}$.

$\frac{x+1}{x-3} = -\sqrt{2} \implies x+1 = -\sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = -x\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \implies x+x\sqrt{2} = 3\sqrt{2}-1 \implies x(1+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-1$.

$x = \frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{3\cdot 2-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{2-1} = 7-4\sqrt{2}$.

Все найденные корни $2, 5, 7+4\sqrt{2}, 7-4\sqrt{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 5; 7 \pm 4\sqrt{2}$.

244. (Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел?

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

2) Введите новую переменную и решите полученное уравнение.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

В задаче требуется найти положительное число, для которого сравниваются два выражения:

• сумма этого числа и числа, ему обратного;
• сумма кубов этого числа и числа, ему обратного.

Обозначим искомое положительное число через $x$. По условию, $x > 0$. Число, обратное $x$, равно $\frac{1}{x}$. Сумма числа и ему обратного: $x + \frac{1}{x}$. Сумма кубов этих чисел: $x^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3}$.

Согласно условию, сумма числа и ему обратного в 13 раз меньше, чем сумма их кубов. Это эквивалентно тому, что сумма кубов в 13 раз больше, чем сумма чисел. На основании этого составим уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$

Ответ: Сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$. Соответствующее уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$.

2) Введите новую переменную и решите полученное уравнение.

Для решения данного уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Теперь выразим левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через $t$. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right)$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$, возведем в квадрат выражение для $t$: $t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$. Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в преобразованное выражение для суммы кубов: $x^3 + \frac{1}{x^3} = t((t^2 - 2) - 1) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t$.

Теперь исходное уравнение $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$ можно переписать с использованием переменной $t$: $t^3 - 3t = 13t$.

Решим полученное уравнение: $t^3 - 3t - 13t = 0$ $t^3 - 16t = 0$ $t(t^2 - 16) = 0$ $t(t-4)(t+4) = 0$. Отсюда находим возможные значения для $t$: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

Ответ: Введена переменная $t = x + \frac{1}{x}$. Решением уравнения $t^3 - 16t = 0$ являются значения $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

Случай 1: $t = 0$. $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножив на $x$ (так как $x \ne 0$), получим: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t = 4$. $x + \frac{1}{x} = 4$. Умножив на $x$, получим квадратное уравнение: $x^2 + 1 = 4x \implies x^2 - 4x + 1 = 0$. Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Случай 3: $t = -4$. $x + \frac{1}{x} = -4$. Умножив на $x$, получим: $x^2 + 1 = -4x \implies x^2 + 4x + 1 = 0$. Решим это уравнение: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Получаем еще два корня: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: Для $t=4$ корни уравнения $x = 2 + \sqrt{3}$ и $x = 2 - \sqrt{3}$. Для $t=-4$ корни $x = -2 + \sqrt{3}$ и $x = -2 - \sqrt{3}$. Для $t=0$ действительных корней нет.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Согласно условию, искомое число $x$ должно быть положительным ($x > 0$). Проверим все найденные действительные корни:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Это число очевидно положительное. Оно удовлетворяет условию.

$x_2 = 2 - \sqrt{3}$. Поскольку $4 > 3$, то $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то есть $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, $2 - \sqrt{3} > 0$. Это число также удовлетворяет условию.

$x_3 = -2 + \sqrt{3}$. Поскольку $2 > \sqrt{3}$, то $-2 + \sqrt{3} < 0$. Это число не удовлетворяет условию.

$x_4 = -2 - \sqrt{3}$. Это число очевидно отрицательное. Оно не удовлетворяет условию.

Таким образом, мы нашли два положительных числа, удовлетворяющих условию задачи. Это означает, что ответ на главный вопрос задачи — "Да, существует".

Ответ: Да, такое положительное число существует. Этому условию удовлетворяют числа $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.

245. Решите уравнение:

а) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = 3\frac{1}{2}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Данное уравнение является так называемым возвратным уравнением.

Заметим, что выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ можно выразить через $x - \frac{1}{x}$. Для этого возведем в квадрат выражение в скобках:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{1}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$(t^2 + 2) - \frac{1}{2}t = 3\frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Сначала преобразуем его:

$t^2 - \frac{1}{2}t + 2 - \frac{7}{2} = 0$

$t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{3}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = \frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$. Умножим на $2x$ (так как $x \neq 0$):

$2x^2 - 2 = 3x \implies 2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни для $x$: $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$.

2) Если $t = -1$, то $x - \frac{1}{x} = -1$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -x \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни для $x$: $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}(x + \frac{1}{x}) = 8$

ОДЗ: $x \neq 0$. Это уравнение также является возвратным.

В данном случае выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ удобно выразить через $x + \frac{1}{x}$:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(y^2 - 2) - \frac{1}{3}y = 8$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$y^2 - \frac{1}{3}y - 2 - 8 = 0$

$y^2 - \frac{1}{3}y - 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3:

$3y^2 - y - 30 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ и $y_2 = \frac{1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) Если $y = \frac{10}{3}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$. Умножим на $3x$:

$3x^2 + 3 = 10x \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это уравнение: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни для $x$: $x_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) Если $y = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 + 1 = -3x \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни для $x$: $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

246. Сократите дробь:

а) $\frac{12-5x-2x^2}{15-10x}$

б) $\frac{3x^2-36x-192}{x^2-256}$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $12 - 5x - 2x^2$. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2 - 5x + 12 = 0$. Умножим на $-1$, чтобы получить $2x^2 + 5x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Теперь можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2x^2 - 5x + 12 = -2(x - 1.5)(x - (-4)) = -2(x - 1.5)(x + 4) = (-2x + 3)(x + 4) = (3 - 2x)(x + 4)$.

2. Разложим знаменатель $15 - 10x$, вынеся общий множитель за скобки:

$15 - 10x = 5(3 - 2x)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} = \frac{(3 - 2x)(x + 4)}{5(3 - 2x)} = \frac{x + 4}{5} $.

Сокращение возможно при условии, что $3 - 2x \neq 0$, то есть $x \neq 1.5$.

Ответ: $ \frac{x+4}{5} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $3x^2 - 36x - 192$. Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(x^2 - 12x - 64)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 12x - 64$, решив уравнение $x^2 - 12x - 64 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 20}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Тогда $x^2 - 12x - 64 = (x - 16)(x - (-4)) = (x - 16)(x + 4)$.

Таким образом, числитель равен $3(x - 16)(x + 4)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 256$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 256 = x^2 - 16^2 = (x - 16)(x + 16)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} = \frac{3(x - 16)(x + 4)}{(x - 16)(x + 16)} = \frac{3(x + 4)}{x + 16} $.

Сокращение возможно при условии, что $x - 16 \neq 0$, то есть $x \neq 16$.

Ответ: $ \frac{3(x+4)}{x+16} $

247. Постройте график функции y = x² – 3. Укажите промежутки, в которых функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 3$ и анализа ее свойств выполним следующие шаги:

1. Анализ функции и построение графика.

Функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Этот график можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем смещения его на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• Вершина параболы: Находится в точке $(0; -3)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): Найдем их, приравняв $y$ к нулю.
  $x^2 - 3 = 0$
  $x^2 = 3$
  $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.
  Точки пересечения: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. (Приблизительно $(-1.73; 0)$ и $(1.73; 0)$).
• Точка пересечения с осью Oy: Найдем ее, подставив $x = 0$.
  $y = 0^2 - 3 = -3$.
  Точка пересечения: $(0; -3)$, что совпадает с вершиной.
• Дополнительные точки для точности:
  Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 3 = -2$. Точка $(1; -2)$.
  Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 - 3 = -2$. Точка $(-1; -2)$.
  Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.
  Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 - 3 = 1$. Точка $(-2; 1)$.

Построив параболу по этим точкам, мы можем определить промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

а) положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Глядя на график или решая неравенство $x^2 - 3 > 0$, мы видим, что это происходит на двух промежутках: левее корня $x = -\sqrt{3}$ и правее корня $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

б) отрицательные значения.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутке между корнями, то есть между $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

248. На строительстве работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть первая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу за $x$ дней. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $1/x$.

Пусть вторая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу за $y$ дней. Тогда ее производительность составляет $1/y$.

Из условия известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем первой. Составим первое уравнение:

$y = x - 12$

Поскольку количество дней не может быть отрицательным, $y > 0$, следовательно, $x - 12 > 0$, что означает $x > 12$.

Две бригады работали вместе 5 дней. Их совместная производительность равна $1/x + 1/y$. За 5 дней они выполнили часть работы, равную:

$5 \cdot (1/x + 1/y)$

После этого первая бригада работала одна еще 9 дней и закончила оставшуюся работу. Часть работы, выполненная первой бригадой за 9 дней, равна:

$9 \cdot (1/x)$

Сумма этих двух частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим второе уравнение:

$5 \cdot (1/x + 1/y) + 9 \cdot (1/x) = 1$

Упростим это уравнение:

$5/x + 5/y + 9/x = 1$

$14/x + 5/y = 1$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x - 12$):

$14/x + 5/(x - 12) = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 12)$:

$\frac{14(x - 12) + 5x}{x(x - 12)} = 1$

Так как $x > 12$, то $x \neq 0$ и $x - 12 \neq 0$. Можем умножить обе части на знаменатель:

$14(x - 12) + 5x = x(x - 12)$

$14x - 168 + 5x = x^2 - 12x$

$19x - 168 = x^2 - 12x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x - 19x + 168 = 0$

$x^2 - 31x + 168 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{31 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{31 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $x > 12$, так как в этом случае время работы второй бригады $y = 7 - 12 = -5$ было бы отрицательным, что невозможно.

Следовательно, единственное верное решение — $x = 24$.

Теперь найдем время работы для второй бригады:

$y = x - 12 = 24 - 12 = 12$

Таким образом, первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая — за 12 дней.

Ответ: первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая бригада — за 12 дней.