Страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

237. При каких значениях a:

а) Чтобы найти значения $a$, при которых сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$, составим и решим уравнение:

$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$a-2 \ne 0 \implies a \ne 2$

$a+1 \ne 0 \implies a \ne -1$

Знаменатель правой части $a^2-a-2$ можно разложить на множители как $(a-2)(a+1)$, что дает те же ограничения. Таким образом, ОДЗ: $a \ne 2$ и $a \ne -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-2)(a+1)$:

$\frac{(a+1)(a+1)}{(a-2)(a+1)} + \frac{(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители (в пределах ОДЗ):

$(a+1)^2 + (a-4)(a-2) = 3a+3$

Раскроем скобки и упростим:

$(a^2+2a+1) + (a^2-2a-4a+8) = 3a+3$

$a^2+2a+1 + a^2-6a+8 = 3a+3$

$2a^2-4a+9 = 3a+3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2a^2 - 4a - 3a + 9 - 3 = 0$

$2a^2 - 7a + 6 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$a_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $a_1=2$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $a_2=1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a=1.5$

б) Чтобы найти значения $a$, при которых разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$, составим и решим уравнение:

$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители для нахождения ОДЗ и общего знаменателя:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$

$a-a^2 = a(1-a) = -a(a-1)$

$a^2+a = a(a+1)$

ОДЗ: $a \ne 0$, $a \ne 1$, $a \ne -1$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями, изменив знак у второй дроби:

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $a(a-1)(a+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$a(3a-5) + (a+1)(6a-5) = (a-1)(3a+2)$

Раскроем скобки:

$3a^2 - 5a + 6a^2 - 5a + 6a - 5 = 3a^2 + 2a - 3a - 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$9a^2 - 3a^2 - 4a + a - 5 + 2 = 0$

$6a^2 - 3a - 3 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$2a^2 - a - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($a \ne 0, a \ne 1, a \ne -1$). Корень $a_1=1$ не входит в ОДЗ. Корень $a_2=-0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a=-0.5$

238. Найдите корни уравнения:

а)

Дано уравнение:

$$ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x - 10 \neq 0 \Rightarrow x \neq 10$

$x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 7, 9, 10\}$.

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю.

Левая часть:

$$ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x-7)}{(x-7)(x-1)} = \frac{x-1-x+7}{x^2-x-7x+7} = \frac{6}{x^2-8x+7} $$

Правая часть:

$$ \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} = \frac{(x-9) - (x-10)}{(x-10)(x-9)} = \frac{x-9-x+10}{x^2-9x-10x+90} = \frac{1}{x^2-19x+90} $$

Получаем уравнение:

$$ \frac{6}{x^2-8x+7} = \frac{1}{x^2-19x+90} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), так как знаменатели не равны нулю в ОДЗ:

$$ 6(x^2-19x+90) = 1(x^2-8x+7) $$

Раскроем скобки:

$$ 6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ (6x^2 - x^2) + (-114x + 8x) + (540 - 7) = 0 $$

$$ 5x^2 - 106x + 533 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-106)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 - 10660 = 576 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{106 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2 $$

Оба корня (13 и 8.2) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $13; 8.2$.

б)

Дано уравнение:

$$ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x + 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -9$

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$x + 21 \neq 0 \Rightarrow x \neq -21$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-21, -9, -5, -3\}$.

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю.

Левая часть:

$$ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{(x+9) - (x+3)}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+9-x-3}{x^2+9x+3x+27} = \frac{6}{x^2+12x+27} $$

Правая часть:

$$ \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} = \frac{(x+21) - (x+5)}{(x+5)(x+21)} = \frac{x+21-x-5}{x^2+21x+5x+105} = \frac{16}{x^2+26x+105} $$

Получаем уравнение:

$$ \frac{6}{x^2+12x+27} = \frac{16}{x^2+26x+105} $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ \frac{3}{x^2+12x+27} = \frac{8}{x^2+26x+105} $$

Используем свойство пропорции:

$$ 3(x^2+26x+105) = 8(x^2+12x+27) $$

Раскроем скобки:

$$ 3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216 $$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ 0 = (8x^2 - 3x^2) + (96x - 78x) + (216 - 315) $$

$$ 5x^2 + 18x - 99 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6 $$

Оба корня (3 и -6.6) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $3; -6.6$.

239. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для решения данных уравнений наиболее удобным является метод перегруппировки слагаемых. Вместо приведения всех четырех дробей к общему знаменателю, что привело бы к громоздким вычислениям и уравнению высокой степени, мы перенесем слагаемые из одной части в другую. Это позволит сгруппировать дроби таким образом, чтобы после приведения к общему знаменателю в каждой части уравнения выражения значительно упростились, и исходное уравнение свелось к квадратному.

а)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$
$x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 2, 4, 5\}$.

Для удобства преобразований перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую. Сгруппируем дроби так, чтобы при вычитании в числителях сократилась переменная $x$. Перенесем $\frac{1}{x+4}$ влево, а $\frac{1}{x-2}$ вправо:

$$ \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-2} $$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю:

В левой части: $ \frac{(x+4) - (x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x+4-x+4}{x^2-16} = \frac{8}{x^2-16} $.

В правой части: $ \frac{(x-2) - (x-5)}{(x-5)(x-2)} = \frac{x-2-x+5}{x^2-7x+10} = \frac{3}{x^2-7x+10} $.

Теперь уравнение имеет вид:

$$ \frac{8}{x^2-16} = \frac{3}{x^2-7x+10} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), так как на ОДЗ знаменатели не равны нулю:

$ 8(x^2-7x+10) = 3(x^2-16) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

$ 8x^2 - 3x^2 - 56x + 80 + 48 = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $.

Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2 $

Оба корня, $x=8$ и $x=3.2$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 8; 3,2.

б)

Решим уравнение $ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+28} + \frac{1}{x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x+28 \neq 0 \Rightarrow x \neq -28$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-28, -3, -1, 0\}$.

Аналогично предыдущему заданию, перегруппируем слагаемые для упрощения. Перенесем $\frac{1}{x}$ в левую часть, а $\frac{1}{x+3}$ в правую:

$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x+28} - \frac{1}{x+3} $$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю:

В левой части: $ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-x-1}{x^2+x} = \frac{-1}{x^2+x} $.

В правой части: $ \frac{(x+3) - (x+28)}{(x+28)(x+3)} = \frac{x+3-x-28}{x^2+31x+84} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $.

Уравнение принимает вид:

$$ \frac{-1}{x^2+x} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $$

Домножим обе части на -1, чтобы избавиться от минусов:

$$ \frac{1}{x^2+x} = \frac{25}{x^2+31x+84} $$

Применим свойство пропорции:

$ 1 \cdot (x^2+31x+84) = 25 \cdot (x^2+x) $

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$ x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x $

$ 0 = 25x^2 - x^2 + 25x - 31x - 84 $

$ 24x^2 - 6x - 84 = 0 $

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$ 4x^2 - x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 $.

Находим корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1.75 $

Оба корня, $x=2$ и $x=-1.75$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 2; -1,75.

240. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$

Чтобы найти координаты точек пересечения, приравняем выражения для $y$, так как в точках пересечения ординаты графиков совпадают.

$x^2 + x - 9 = \frac{9}{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(x^2 + x - 9) = x \cdot \frac{9}{x}$

$x^3 + x^2 - 9x = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Решим это уравнение методом группировки:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x - 3)(x + 3)$.

$(x - 3)(x + 3)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим три возможных значения $x$:

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в одну из исходных функций, например, в $y = \frac{9}{x}$:

• При $x_1 = 3$, $y_1 = \frac{9}{3} = 3$. Координаты первой точки: $(3, 3)$.
• При $x_2 = -3$, $y_2 = \frac{9}{-3} = -3$. Координаты второй точки: $(-3, -3)$.
• При $x_3 = -1$, $y_3 = \frac{9}{-1} = -9$. Координаты третьей точки: $(-1, -9)$.

Ответ: $(3, 3)$, $(-3, -3)$, $(-1, -9)$.

б) $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$x^2 + 6x - 4 = \frac{24}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x(x^2 + 6x - 4) = x \cdot \frac{24}{x}$

$x^3 + 6x^2 - 4x = 24$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + 6x^2) - (4x + 24) = 0$

Вынесем общие множители:

$x^2(x + 6) - 4(x + 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$:

$(x^2 - 4)(x + 6) = 0$

Разложим множитель $(x^2 - 4)$ как разность квадратов: $(x - 2)(x + 2)$.

$(x - 2)(x + 2)(x + 6) = 0$

Находим три значения $x$:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = -6$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = \frac{24}{x}$:

• При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{24}{2} = 12$. Координаты первой точки: $(2, 12)$.
• При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{24}{-2} = -12$. Координаты второй точки: $(-2, -12)$.
• При $x_3 = -6$, $y_3 = \frac{24}{-6} = -4$. Координаты третьей точки: $(-6, -4)$.

Ответ: $(2, 12)$, $(-2, -12)$, $(-6, -4)$.

241. При каких значениях a:

а) равны значения выражений $\frac{5a+7-28a^2}{20a}$ и a²;

б) являются противоположными числами значения выражений $\frac{2-18a^2-a}{3a}$ и 3a²?

а) Чтобы значения выражений были равны, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение. Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Составим уравнение:

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a} = a^2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $20a \neq 0$, откуда следует, что $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $20a$ (так как $a \neq 0$):

$5a + 7 - 28a^2 = 20a \cdot a^2$

$5a + 7 - 28a^2 = 20a^3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные:

$-20a^3 - 28a^2 + 5a + 7 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$20a^3 + 28a^2 - 5a - 7 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(20a^3 + 28a^2) - (5a + 7) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$4a^2(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0$

Вынесем общий множитель $(5a + 7)$ за скобки:

$(4a^2 - 1)(5a + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $4a^2 - 1 = 0 \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \pm\frac{1}{2}$

2) $5a + 7 = 0 \implies 5a = -7 \implies a = -\frac{7}{5} = -1.4$

Все полученные значения $a_1 = -1.4$, $a_2 = -0.5$, $a_3 = 0.5$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: при $a = -1.4$, $a = -0.5$ и $a = 0.5$.

б) Значения выражений являются противоположными числами, если их сумма равна нулю.

Составим уравнение:

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a} + 3a^2 = 0$

ОДЗ: $3a \neq 0$, следовательно, $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $3a$:

$2 - 18a^2 - a + (3a^2)(3a) = 0$

$2 - 18a^2 - a + 9a^3 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде (в порядке убывания степеней $a$):

$9a^3 - 18a^2 - a + 2 = 0$

Применим метод группировки:

$(9a^3 - 18a^2) - (a - 2) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$9a^2(a - 2) - 1(a - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:

$(9a^2 - 1)(a - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) $9a^2 - 1 = 0 \implies 9a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{9} \implies a = \pm\frac{1}{3}$

2) $a - 2 = 0 \implies a = 2$

Все полученные значения $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{1}{3}$, $a_3 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: при $a = 2$, $a = \frac{1}{3}$ и $a = -\frac{1}{3}$.

242. (Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной:

1) Выполните совместно задание а).

2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $\frac{12}{x^2 - 2x + 3} = x^2 - 2x - 1$

Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 - 2x$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 - 2x$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{12}{t + 3} = t - 1$

Область допустимых значений для $t$ определяется условием $t + 3 \neq 0$, то есть $t \neq -3$.

Решим полученное уравнение относительно $t$, умножив обе части на $(t+3)$:

$12 = (t - 1)(t + 3)$

$12 = t^2 + 3t - t - 3$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -15$

Отсюда $t_1 = -5$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq -3$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $t = -5$, то $x^2 - 2x = -5$.

$x^2 - 2x + 5 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Проверим область определения исходного уравнения. Знаменатель $x^2 - 2x + 3$ не должен быть равен нулю. Дискриминант этого трехчлена $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8 < 0$, поэтому $x^2 - 2x + 3 > 0$ при любых $x$. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $-1; 3$.

б) $\frac{12}{x^2 + x - 10} - \frac{6}{x^2 + x - 6} = \frac{5}{x^2 + x - 11}$

Введем новую переменную для повторяющегося выражения $x^2 + x$. Пусть $t = x^2 + x$.

Уравнение примет вид:

$\frac{12}{t - 10} - \frac{6}{t - 6} = \frac{5}{t - 11}$

ОДЗ для $t$: $t \neq 10$, $t \neq 6$, $t \neq 11$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(t - 6) - 6(t - 10)}{(t - 10)(t - 6)} = \frac{5}{t - 11}$

$\frac{12t - 72 - 6t + 60}{t^2 - 16t + 60} = \frac{5}{t - 11}$

$\frac{6t - 12}{t^2 - 16t + 60} = \frac{5}{t - 11}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$(6t - 12)(t - 11) = 5(t^2 - 16t + 60)$

$6t^2 - 66t - 12t + 132 = 5t^2 - 80t + 300$

$6t^2 - 78t + 132 = 5t^2 - 80t + 300$

$t^2 + 2t - 168 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2 - 26}{2} = -14$ и $t_2 = \frac{-2 + 26}{2} = 12$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = -14$, то $x^2 + x = -14$.

$x^2 + x + 14 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 1 - 56 = -55 < 0$. Действительных корней нет.

2) Если $t = 12$, то $x^2 + x = 12$.

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Проверка ОДЗ исходного уравнения показывает, что при $x=-4$ и $x=3$ значение $x^2+x$ равно 12, а значит ни один из знаменателей не обращается в ноль ($12-10 \neq 0$, $12-6 \neq 0$, $12-11 \neq 0$).

Ответ: $-4; 3$.

в) $\frac{16}{x^2 - 2x} - \frac{11}{x^2 - 2x + 3} = \frac{9}{x^2 - 2x + 1}$

Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\frac{16}{t} - \frac{11}{t + 3} = \frac{9}{t + 1}$

ОДЗ для $t$: $t \neq 0$, $t \neq -3$, $t \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{16(t + 3) - 11t}{t(t + 3)} = \frac{9}{t + 1}$

$\frac{16t + 48 - 11t}{t^2 + 3t} = \frac{9}{t + 1}$

$\frac{5t + 48}{t^2 + 3t} = \frac{9}{t + 1}$

По свойству пропорции:

$(5t + 48)(t + 1) = 9(t^2 + 3t)$

$5t^2 + 5t + 48t + 48 = 9t^2 + 27t$

$5t^2 + 53t + 48 = 9t^2 + 27t$

$4t^2 - 26t - 48 = 0$

Разделим уравнение на 2: $2t^2 - 13t - 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{13 - 19}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$ и $t_2 = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = -1.5$, то $x^2 - 2x = -1.5$.

$x^2 - 2x + 1.5 = 0$

$2x^2 - 4x + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

2) Если $t = 8$, то $x^2 - 2x = 8$.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Проверка ОДЗ исходного уравнения показывает, что при $x=-2$ и $x=4$ значение $x^2-2x$ равно 8, а значит ни один из знаменателей не обращается в ноль ($8 \neq 0$, $8+3 \neq 0$, $8+1 \neq 0$).

Ответ: $-2; 4$.