Номер 242, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

242. (Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной:

1) Выполните совместно задание а).

2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $\frac{12}{x^2 - 2x + 3} = x^2 - 2x - 1$

Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 - 2x$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 - 2x$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{12}{t + 3} = t - 1$

Область допустимых значений для $t$ определяется условием $t + 3 \neq 0$, то есть $t \neq -3$.

Решим полученное уравнение относительно $t$, умножив обе части на $(t+3)$:

$12 = (t - 1)(t + 3)$

$12 = t^2 + 3t - t - 3$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -15$

Отсюда $t_1 = -5$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq -3$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $t = -5$, то $x^2 - 2x = -5$.

$x^2 - 2x + 5 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Проверим область определения исходного уравнения. Знаменатель $x^2 - 2x + 3$ не должен быть равен нулю. Дискриминант этого трехчлена $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8 < 0$, поэтому $x^2 - 2x + 3 > 0$ при любых $x$. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $-1; 3$.

б) $\frac{12}{x^2 + x - 10} - \frac{6}{x^2 + x - 6} = \frac{5}{x^2 + x - 11}$

Введем новую переменную для повторяющегося выражения $x^2 + x$. Пусть $t = x^2 + x$.

Уравнение примет вид:

$\frac{12}{t - 10} - \frac{6}{t - 6} = \frac{5}{t - 11}$

ОДЗ для $t$: $t \neq 10$, $t \neq 6$, $t \neq 11$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(t - 6) - 6(t - 10)}{(t - 10)(t - 6)} = \frac{5}{t - 11}$

$\frac{12t - 72 - 6t + 60}{t^2 - 16t + 60} = \frac{5}{t - 11}$

$\frac{6t - 12}{t^2 - 16t + 60} = \frac{5}{t - 11}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$(6t - 12)(t - 11) = 5(t^2 - 16t + 60)$

$6t^2 - 66t - 12t + 132 = 5t^2 - 80t + 300$

$6t^2 - 78t + 132 = 5t^2 - 80t + 300$

$t^2 + 2t - 168 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2 - 26}{2} = -14$ и $t_2 = \frac{-2 + 26}{2} = 12$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = -14$, то $x^2 + x = -14$.

$x^2 + x + 14 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 1 - 56 = -55 < 0$. Действительных корней нет.

2) Если $t = 12$, то $x^2 + x = 12$.

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Проверка ОДЗ исходного уравнения показывает, что при $x=-4$ и $x=3$ значение $x^2+x$ равно 12, а значит ни один из знаменателей не обращается в ноль ($12-10 \neq 0$, $12-6 \neq 0$, $12-11 \neq 0$).

Ответ: $-4; 3$.

в) $\frac{16}{x^2 - 2x} - \frac{11}{x^2 - 2x + 3} = \frac{9}{x^2 - 2x + 1}$

Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\frac{16}{t} - \frac{11}{t + 3} = \frac{9}{t + 1}$

ОДЗ для $t$: $t \neq 0$, $t \neq -3$, $t \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{16(t + 3) - 11t}{t(t + 3)} = \frac{9}{t + 1}$

$\frac{16t + 48 - 11t}{t^2 + 3t} = \frac{9}{t + 1}$

$\frac{5t + 48}{t^2 + 3t} = \frac{9}{t + 1}$

По свойству пропорции:

$(5t + 48)(t + 1) = 9(t^2 + 3t)$

$5t^2 + 5t + 48t + 48 = 9t^2 + 27t$

$5t^2 + 53t + 48 = 9t^2 + 27t$

$4t^2 - 26t - 48 = 0$

Разделим уравнение на 2: $2t^2 - 13t - 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{13 - 19}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$ и $t_2 = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = -1.5$, то $x^2 - 2x = -1.5$.

$x^2 - 2x + 1.5 = 0$

$2x^2 - 4x + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

2) Если $t = 8$, то $x^2 - 2x = 8$.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Проверка ОДЗ исходного уравнения показывает, что при $x=-2$ и $x=4$ значение $x^2-2x$ равно 8, а значит ни один из знаменателей не обращается в ноль ($8 \neq 0$, $8+3 \neq 0$, $8+1 \neq 0$).

Ответ: $-2; 4$.