Номер 240, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 240, страница 83.

Условие.

240. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$

Чтобы найти координаты точек пересечения, приравняем выражения для $y$, так как в точках пересечения ординаты графиков совпадают.

$x^2 + x - 9 = \frac{9}{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(x^2 + x - 9) = x \cdot \frac{9}{x}$

$x^3 + x^2 - 9x = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Решим это уравнение методом группировки:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x - 3)(x + 3)$.

$(x - 3)(x + 3)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим три возможных значения $x$:

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в одну из исходных функций, например, в $y = \frac{9}{x}$:

• При $x_1 = 3$, $y_1 = \frac{9}{3} = 3$. Координаты первой точки: $(3, 3)$.
• При $x_2 = -3$, $y_2 = \frac{9}{-3} = -3$. Координаты второй точки: $(-3, -3)$.
• При $x_3 = -1$, $y_3 = \frac{9}{-1} = -9$. Координаты третьей точки: $(-1, -9)$.

Ответ: $(3, 3)$, $(-3, -3)$, $(-1, -9)$.

б) $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$x^2 + 6x - 4 = \frac{24}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x(x^2 + 6x - 4) = x \cdot \frac{24}{x}$

$x^3 + 6x^2 - 4x = 24$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + 6x^2) - (4x + 24) = 0$

Вынесем общие множители:

$x^2(x + 6) - 4(x + 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$:

$(x^2 - 4)(x + 6) = 0$

Разложим множитель $(x^2 - 4)$ как разность квадратов: $(x - 2)(x + 2)$.

$(x - 2)(x + 2)(x + 6) = 0$

Находим три значения $x$:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = -6$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = \frac{24}{x}$:

• При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{24}{2} = 12$. Координаты первой точки: $(2, 12)$.
• При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{24}{-2} = -12$. Координаты второй точки: $(-2, -12)$.
• При $x_3 = -6$, $y_3 = \frac{24}{-6} = -4$. Координаты третьей точки: $(-6, -4)$.

Ответ: $(2, 12)$, $(-2, -12)$, $(-6, -4)$.