Номер 239, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

239. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для решения данных уравнений наиболее удобным является метод перегруппировки слагаемых. Вместо приведения всех четырех дробей к общему знаменателю, что привело бы к громоздким вычислениям и уравнению высокой степени, мы перенесем слагаемые из одной части в другую. Это позволит сгруппировать дроби таким образом, чтобы после приведения к общему знаменателю в каждой части уравнения выражения значительно упростились, и исходное уравнение свелось к квадратному.

а)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$
$x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 2, 4, 5\}$.

Для удобства преобразований перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую. Сгруппируем дроби так, чтобы при вычитании в числителях сократилась переменная $x$. Перенесем $\frac{1}{x+4}$ влево, а $\frac{1}{x-2}$ вправо:

$$ \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-2} $$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю:

В левой части: $ \frac{(x+4) - (x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x+4-x+4}{x^2-16} = \frac{8}{x^2-16} $.

В правой части: $ \frac{(x-2) - (x-5)}{(x-5)(x-2)} = \frac{x-2-x+5}{x^2-7x+10} = \frac{3}{x^2-7x+10} $.

Теперь уравнение имеет вид:

$$ \frac{8}{x^2-16} = \frac{3}{x^2-7x+10} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), так как на ОДЗ знаменатели не равны нулю:

$ 8(x^2-7x+10) = 3(x^2-16) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

$ 8x^2 - 3x^2 - 56x + 80 + 48 = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $.

Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2 $

Оба корня, $x=8$ и $x=3.2$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 8; 3,2.

б)

Решим уравнение $ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+28} + \frac{1}{x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x+28 \neq 0 \Rightarrow x \neq -28$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-28, -3, -1, 0\}$.

Аналогично предыдущему заданию, перегруппируем слагаемые для упрощения. Перенесем $\frac{1}{x}$ в левую часть, а $\frac{1}{x+3}$ в правую:

$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x+28} - \frac{1}{x+3} $$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю:

В левой части: $ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-x-1}{x^2+x} = \frac{-1}{x^2+x} $.

В правой части: $ \frac{(x+3) - (x+28)}{(x+28)(x+3)} = \frac{x+3-x-28}{x^2+31x+84} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $.

Уравнение принимает вид:

$$ \frac{-1}{x^2+x} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $$

Домножим обе части на -1, чтобы избавиться от минусов:

$$ \frac{1}{x^2+x} = \frac{25}{x^2+31x+84} $$

Применим свойство пропорции:

$ 1 \cdot (x^2+31x+84) = 25 \cdot (x^2+x) $

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$ x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x $

$ 0 = 25x^2 - x^2 + 25x - 31x - 84 $

$ 24x^2 - 6x - 84 = 0 $

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$ 4x^2 - x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 $.

Находим корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1.75 $

Оба корня, $x=2$ и $x=-1.75$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 2; -1,75.