Номер 238, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 238, страница 83.

Условие.

238. Найдите корни уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дано уравнение:

$$ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x - 10 \neq 0 \Rightarrow x \neq 10$

$x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 7, 9, 10\}$.

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю.

Левая часть:

$$ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x-7)}{(x-7)(x-1)} = \frac{x-1-x+7}{x^2-x-7x+7} = \frac{6}{x^2-8x+7} $$

Правая часть:

$$ \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} = \frac{(x-9) - (x-10)}{(x-10)(x-9)} = \frac{x-9-x+10}{x^2-9x-10x+90} = \frac{1}{x^2-19x+90} $$

Получаем уравнение:

$$ \frac{6}{x^2-8x+7} = \frac{1}{x^2-19x+90} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), так как знаменатели не равны нулю в ОДЗ:

$$ 6(x^2-19x+90) = 1(x^2-8x+7) $$

Раскроем скобки:

$$ 6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ (6x^2 - x^2) + (-114x + 8x) + (540 - 7) = 0 $$

$$ 5x^2 - 106x + 533 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-106)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 - 10660 = 576 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{106 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2 $$

Оба корня (13 и 8.2) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $13; 8.2$.

б)

Дано уравнение:

$$ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x + 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -9$

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$x + 21 \neq 0 \Rightarrow x \neq -21$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-21, -9, -5, -3\}$.

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю.

Левая часть:

$$ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{(x+9) - (x+3)}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+9-x-3}{x^2+9x+3x+27} = \frac{6}{x^2+12x+27} $$

Правая часть:

$$ \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} = \frac{(x+21) - (x+5)}{(x+5)(x+21)} = \frac{x+21-x-5}{x^2+21x+5x+105} = \frac{16}{x^2+26x+105} $$

Получаем уравнение:

$$ \frac{6}{x^2+12x+27} = \frac{16}{x^2+26x+105} $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ \frac{3}{x^2+12x+27} = \frac{8}{x^2+26x+105} $$

Используем свойство пропорции:

$$ 3(x^2+26x+105) = 8(x^2+12x+27) $$

Раскроем скобки:

$$ 3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216 $$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ 0 = (8x^2 - 3x^2) + (96x - 78x) + (216 - 315) $$

$$ 5x^2 + 18x - 99 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6 $$

Оба корня (3 и -6.6) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $3; -6.6$.