Номер 244, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 244, страница 84.

Условие.

244. (Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел?

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

2) Введите новую переменную и решите полученное уравнение.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

В задаче требуется найти положительное число, для которого сравниваются два выражения:

• сумма этого числа и числа, ему обратного;
• сумма кубов этого числа и числа, ему обратного.

Обозначим искомое положительное число через $x$. По условию, $x > 0$. Число, обратное $x$, равно $\frac{1}{x}$. Сумма числа и ему обратного: $x + \frac{1}{x}$. Сумма кубов этих чисел: $x^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3}$.

Согласно условию, сумма числа и ему обратного в 13 раз меньше, чем сумма их кубов. Это эквивалентно тому, что сумма кубов в 13 раз больше, чем сумма чисел. На основании этого составим уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$

Ответ: Сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$. Соответствующее уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$.

2) Введите новую переменную и решите полученное уравнение.

Для решения данного уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Теперь выразим левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через $t$. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right)$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$, возведем в квадрат выражение для $t$: $t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$. Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в преобразованное выражение для суммы кубов: $x^3 + \frac{1}{x^3} = t((t^2 - 2) - 1) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t$.

Теперь исходное уравнение $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \left(x + \frac{1}{x}\right)$ можно переписать с использованием переменной $t$: $t^3 - 3t = 13t$.

Решим полученное уравнение: $t^3 - 3t - 13t = 0$ $t^3 - 16t = 0$ $t(t^2 - 16) = 0$ $t(t-4)(t+4) = 0$. Отсюда находим возможные значения для $t$: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

Ответ: Введена переменная $t = x + \frac{1}{x}$. Решением уравнения $t^3 - 16t = 0$ являются значения $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

Случай 1: $t = 0$. $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножив на $x$ (так как $x \ne 0$), получим: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t = 4$. $x + \frac{1}{x} = 4$. Умножив на $x$, получим квадратное уравнение: $x^2 + 1 = 4x \implies x^2 - 4x + 1 = 0$. Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Случай 3: $t = -4$. $x + \frac{1}{x} = -4$. Умножив на $x$, получим: $x^2 + 1 = -4x \implies x^2 + 4x + 1 = 0$. Решим это уравнение: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Получаем еще два корня: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: Для $t=4$ корни уравнения $x = 2 + \sqrt{3}$ и $x = 2 - \sqrt{3}$. Для $t=-4$ корни $x = -2 + \sqrt{3}$ и $x = -2 - \sqrt{3}$. Для $t=0$ действительных корней нет.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Согласно условию, искомое число $x$ должно быть положительным ($x > 0$). Проверим все найденные действительные корни:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Это число очевидно положительное. Оно удовлетворяет условию.

$x_2 = 2 - \sqrt{3}$. Поскольку $4 > 3$, то $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то есть $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, $2 - \sqrt{3} > 0$. Это число также удовлетворяет условию.

$x_3 = -2 + \sqrt{3}$. Поскольку $2 > \sqrt{3}$, то $-2 + \sqrt{3} < 0$. Это число не удовлетворяет условию.

$x_4 = -2 - \sqrt{3}$. Это число очевидно отрицательное. Оно не удовлетворяет условию.

Таким образом, мы нашли два положительных числа, удовлетворяющих условию задачи. Это означает, что ответ на главный вопрос задачи — "Да, существует".

Ответ: Да, такое положительное число существует. Этому условию удовлетворяют числа $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.