Номер 246, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

246. Сократите дробь:

а) $\frac{12-5x-2x^2}{15-10x}$

б) $\frac{3x^2-36x-192}{x^2-256}$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $12 - 5x - 2x^2$. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2 - 5x + 12 = 0$. Умножим на $-1$, чтобы получить $2x^2 + 5x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Теперь можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2x^2 - 5x + 12 = -2(x - 1.5)(x - (-4)) = -2(x - 1.5)(x + 4) = (-2x + 3)(x + 4) = (3 - 2x)(x + 4)$.

2. Разложим знаменатель $15 - 10x$, вынеся общий множитель за скобки:

$15 - 10x = 5(3 - 2x)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} = \frac{(3 - 2x)(x + 4)}{5(3 - 2x)} = \frac{x + 4}{5} $.

Сокращение возможно при условии, что $3 - 2x \neq 0$, то есть $x \neq 1.5$.

Ответ: $ \frac{x+4}{5} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $3x^2 - 36x - 192$. Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(x^2 - 12x - 64)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 12x - 64$, решив уравнение $x^2 - 12x - 64 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 20}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Тогда $x^2 - 12x - 64 = (x - 16)(x - (-4)) = (x - 16)(x + 4)$.

Таким образом, числитель равен $3(x - 16)(x + 4)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 256$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 256 = x^2 - 16^2 = (x - 16)(x + 16)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} = \frac{3(x - 16)(x + 4)}{(x - 16)(x + 16)} = \frac{3(x + 4)}{x + 16} $.

Сокращение возможно при условии, что $x - 16 \neq 0$, то есть $x \neq 16$.

Ответ: $ \frac{3(x+4)}{x+16} $