Номер 247, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

247. Постройте график функции y = x² – 3. Укажите промежутки, в которых функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 3$ и анализа ее свойств выполним следующие шаги:

1. Анализ функции и построение графика.

Функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Этот график можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем смещения его на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• Вершина параболы: Находится в точке $(0; -3)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): Найдем их, приравняв $y$ к нулю.
  $x^2 - 3 = 0$
  $x^2 = 3$
  $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.
  Точки пересечения: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. (Приблизительно $(-1.73; 0)$ и $(1.73; 0)$).
• Точка пересечения с осью Oy: Найдем ее, подставив $x = 0$.
  $y = 0^2 - 3 = -3$.
  Точка пересечения: $(0; -3)$, что совпадает с вершиной.
• Дополнительные точки для точности:
  Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 3 = -2$. Точка $(1; -2)$.
  Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 - 3 = -2$. Точка $(-1; -2)$.
  Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.
  Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 - 3 = 1$. Точка $(-2; 1)$.

Построив параболу по этим точкам, мы можем определить промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

а) положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Глядя на график или решая неравенство $x^2 - 3 > 0$, мы видим, что это происходит на двух промежутках: левее корня $x = -\sqrt{3}$ и правее корня $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

б) отрицательные значения.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутке между корнями, то есть между $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.